현대대수 부분군,정규부분군 질문있습니다.

[꺼미꺼미]

H⊂K⊂G 일때,

1.H≤K,K≤G  이면 H≤G  ?

2.H≤G, K≤G 이면 H≤K  ?

두 질문과 위에 부분군 대신에 정규가 들어가도 성립 하는지.. 궁금합니다.

[쿨여누]

부분군의 정의를생각하면 1, 2번 모두 성립합니다.(H가 군(G, • )의 부분군이다의 정의는 H는 공집합이아닌 G의 부분집합이고 H는 군G의 연산 • 에 대해서 군이 된다 입니다)
1번은 K는 G의 부분군이고 H는 K의 부분군이므로 H는 공집합이아닌 G의 부분집합임을 알수있고 G의 연산에 대해서 군을 이루기때문입니다.(H는 K의 부분군이므로 H는 연산 K에 대해 군이다. 그리고 K는 G의 부분군 이므로 K의 연산은 G의 연산에 대한 군 이므로 H는 G의 연산에 대해 군이다) 2번도 마찬가지 정의에 의해 자명
정규부분군으로 바꾼 명제는 2번은 성립하고(정규부분군의 정의로 보여보세요) 1번은 성립하지 않습니다.반례로 D4에서 생각해볼수있습니다.

[쿨여누]

정규부분군으로 조건을 바꾼 1번이 성립하지않는 예 입니다.

[꺼미꺼미]

감사합니다 이해 다됬습니다!! ㅎㅎ