위상 정리 3.8관련 질문입니다.

[리키]

정리 3.8에 대해서
f,g가 연속이면 합성함수가 연속인건 참이지만
f,합성함수가 연속이라고 g가 연속인것은 거짓이며
추가로 f가 상함수라는 조건(연속+가장 강한 위상)
즉 f의 공역이 연속이 되게 하는 위상 중 가장 강한 위상이라는 조건이 추가로 필요하다

이렇게 정리해도 될까요?

그리고 이게 맞다면

f,합성함수가 연속이라고 g가 연속인것은 거짓

이걸 증명하는 반례는 뭐가 있을까요?

[유현미]

상함수는 전사조건도 필요합니다.
합성함수가 gοf일 때를 말씀하시는 거면 맞습니다.

반례는 f가 강위상이 아닌 예를 들면 됩니다. 직접 생각해보시는 게 좋은데 X,Y,Z 모두 한 점 집합이 아닌 같은 집합, X,Z에는 이산위상, Y에는 비이산위상을 주면 f:X→Y, g:Y→Z 모두 항등함수일 때 반례가 됩니다.

[리키]

감사합니다 그럼 상함수는 연속이되도록하는 가장강위상이 주어진 전사함수이다.
라고 생각하면되겠죠?