Re:연결성 관련 질문입니다.

[김도형]

답변 정말 감사드립니다.

이해한 바를 다시 정리하면

제가 주장한 바,

즉 어떤 집합 A가 연결성분임을 보이기 위해 그보다 더 큰 연결집합 B가 존재한다고 가정했을때 그것이 비연결을 보임으로써

A가 극대연결집합, 즉 연결 성분임을 보이는것은 ----(1)

곧 

연결집합(이때는 '연결'이라는 전제가 있는 것이죠??) A를 포함하는  ''''임의의 집합''''(연결이든 비연결이든 아직은 모름) B가 비연결임을 보이는것과 같다는 것이군요!----(2)

최소한 연결성분임을 주장하고싶은 A를 포함하는 집합 B를 '''적당한''' '비연결집합'을 가져와서 (보통위상에서 {x, y}집합을 가져오는 것처럼) 'B는 비연결이다. 따라서 A는 연결성분이다.' 라고만 안하면 될 듯 합니다.

맞나요..?

아.. 그런데 생각을 좀 해보니까 만약 문제가 주어졌을 때

(1)의 경우에서 A를 포함하는 연결집합 B가 존재한다고 할 땐 B의 형태가 연결임을 미리 알어야 하니까.. 쉽진 않겠군요.

위상공간에서 어떤 집합 B가 연결인지 아닌지 말할 수 있는건 아주 어려운 일이기 때문이죠.

가령 실수축상의 보통위상에서 {x}가 연결성분이다. 라고 주장하려는 사람이(말도 안되는 예입니다.)

보통위상에서의 연결일 필요충분조건은 구간 이라는 것을 알지 못하여

{x}를 포함하는 연결집합 {x, y}가 비연결입니다! 라고 할 수 있는 것처럼 말이죠. 적어도 이렇게 주장하기 위해선 {x,y}가 연결이라는 증명을 수반해야 할 것입니다.  

따라서 (1)의 경우는 현실성이 없으므로 그냥 그런가보다.. 하고 넘어가고

실질적으로 문제를 풀때는 (2)의 경우가 나을 것 같긴 합니다.

이번 문제에서 {0}가 연결임을 말씀하신대로 자명하게 알고 있기 때문이죠.

맞나요..?

[쿨여누]

즉 어떤 집합 A가 연결성분임을 보이기 위해 그보다 더 큰 연결집합 B가 존재한다고 가정했을때 그것이 비연결을 보임으로써
A가 극대연결집합, 즉 연결 성분임을 보이는것은 ----(1)
곧 연결집합(이때는 '연결'이라는 전제가 있는 것이죠??) A를 포함하는  ''''임의의 집합''''(연결이든 비연결이든 아직은 모름) B가 비연결임을 보이는것과 같다는 것이군요!----(2)

=> 네 그렇습니다.
(1)은 A를 포함하는 A보다 큰 연결집합은 존재하지않는다. 이고,
(2)는 A를 포함하는 A보다 큰 집합은 비연결집합이다.

이 둘은 같은것을 얘기하는것입니다.

[쿨여누]

최소한 연결성분임을 주장하고싶은 A를 포함하는 집합 B를 '''적당한''' '비연결집합'을 가져와서 (보통위상에서 {x, y}집합을 가져오는 것처럼) 'B는 비연결이다. 따라서 A는 연결성분이다.' 라고만 안하면 될 듯 합니다.
맞나요..?

=> 네 그렇습니다.
궁극적으로 A가 최대연결집합임을 보이기위해서는 A를 포함하는 A보다 큰 연결집합은 없다. 를 보여야합니다.

[쿨여누]

아.. 그런데 생각을 좀 해보니까 만약 문제가 주어졌을 때
(1)의 경우에서 A를 포함하는 연결집합 B가 존재한다고 할 땐 B의 형태가 연결임을 미리 알어야 하니까.. 쉽진 않겠군요.
위상공간에서 어떤 집합 B가 연결인지 아닌지 말할 수 있는건 아주 어려운 일이기 때문이죠.

=> 보통 "B가 연결집합이다"를 보이기 위해 자주쓰는 테크닉으로, 귀류법을 사용합니다.

즉, B가 비연결집합이라고 가정하자.
⇒ ••• ⇒ ••• ⇒ (모순)
따라서 B는 연결집합이다. 라는 논리를 자주 사용합니다.

실제로 R보통위상에서
"R의 부분집합이 연결집합일 필요충분조건은 구간이다."
임을 보일때, 마찬가지의 논리를 사용합니다.(매우 복잡하긴합니다)

[쿨여누]

가령 실수축상의 보통위상에서 {x}가 연결성분이다. 라고 주장하려는 사람이(말도 안되는 예입니다.)
보통위상에서의 연결일 필요충분조건은 구간 이라는 것을 알지 못하여
{x}를 포함하는 연결집합 {x, y}가 비연결입니다! 라고 할 수 있는 것처럼 말이죠. 적어도 이렇게 주장하기 위해선 {x,y}가 연결이라는 증명을 수반해야 할 것입니다.

=> 이 부분은 무슨말인지 모르겠습니다.
{x}가 x의 연결성분이다. 를 얘기하기위해서는 {x}를 포함하는 {x}보다 큰 연결집합은 존재하지않는다. 를 보여야합니다.
그런데 보통위상에서는 {x}보다 큰 연결집합 R이 존재하므로 {x}는 x를 포함하는 최대연결집합이 아닙니다.

[쿨여누]

따라서 (1)의 경우는 현실성이 없으므로 그냥 그런가보다.. 하고 넘어가고
실질적으로 문제를 풀때는 (2)의 경우가 나을 것 같긴 합니다.
이번 문제에서 {0}가 연결임을 말씀하신대로 자명하게 알고 있기 때문이죠.

=> (1)은 현실성이 없고, (2)는 더 나은 방법이다. 이렇게 생각하시는게 이상합니다.(본질적으로 같은 방법입니다)
제가 말씀드린것은 "교수님께서 설명하신 증명의 방법이 연결성분임을 보이는 증명이다." 에 대한 논리적 근거를 설명드린것입니다.
x의 연결성분을 찾는 문제에서 "x의 연결성분이 ~가 될것이다." 의 발견의 측면에 대한 얘기를 해드린것이 아닙니다.