연결성분구하기

[구르밍]

답은 모든 자연수 n에 대하여 {n} 인데

구체적인 과정이 궁금합니다

분명 n이 1~4일때와 아닐때로 나누어 생각해야 할텐데

잘 모르겠네요ㅠㅜ

[쿨여누]

T={G⊂N|N–G유한집합 또는 {1,2,3,4}⊂N–G}
={G⊂N|N–G유한집합}∪{G⊂N|{1,2,3,4}⊂N–G}
={G⊂N|N–G유한집합}∪{G⊂N|1,2,3,4∉G}
이므로 5,6,7,8,••• 은 모두 고립점임을 알수있습니다.

이제 n의 연결성분을 구해보겠습니다.(n∈N)

(i) {n}은 연결집합임에 자명하다.

(ii) {n}⊂A이고 {n}≠A인 A⊂N를 고려하자.
(1) A⊂{1,2,3,4} 인 경우
m∈A 이고 m≠n 인 자연수 m이 존재.
let G=N–{n}, H=N–({1,2,3,4}\{n}) 각각은 N-열린집합이다.
⇒ A=(A∩G)∪(A∩H) 이고 이들은 A의 분리가 된다.
(∵m∈(A∩G)≠Ø, n∈(A∩H)≠Ø이고(A∩G)∩(A∩H)=Ø이며 (A∩G), (A∩H)는 A-열린집합)
따라서 A는 비연결이다.

[쿨여누]

(2) ∃m∈A–{1,2,3,4} 인 경우
let G=N–{m}, H={m} 각각은 N-열린집합이다.(∵m은 고립점)
⇒ A=(A∩G)∪(A∩H) 이고 이들은 A의 분리가 된다.
(∵n∈(A∩G)≠Ø, m∈(A∩H)≠Ø이고(A∩G)∩(A∩H)=Ø이며 (A∩G), (A∩H)는 A-열린집합)
따라서 A는 비연결이다.

그러므로 (i), (ii)에 의해서 n의 연결성분은 {n}가 됩니다.

[구르밍]

답변 고맙습니다 , 여러번 반복해서 풀어보고 드는 생각이 있는데 한번 읽어봐주세요 ㅠㅜ

연결성분을 구하고자 할때, 열린집합의 형태를 고려한 후 원소가 1개짜리 인 집합의

연결여부를 확인하고 그것이 극대임을 보이는게 일반적인 흐름일까요?

그리고 연결성분은 폐집합인가요??

[쿨여누]

구르밍 연결성분을 구하고자 할때, 열린집합의 형태를 고려한 후 원소가 1개짜리 인 집합의 연결여부를 확인하고 그것이 극대임을 보이는게 일반적인 흐름일까요?
=> 한점집합은 항상 연결집합입니다. 연결성분을 구하는 일반적인 알고리즘은 없으나, 전체공간이 연결공간인지의 여부를 따지면서 연결공간이라면 성분은 전체집합이 될것이고, 비연결공간이라 하면 비연결임을 보이는 과정에서 열린집합들의 특성을 파악하여 성분을 추측해볼수있습니다. 그리고 성분은 동치류이므로 동치류의 성질을 이용해볼수도있습니다.

그리고 연결성분은 폐집합인가요??
=> 네 그렇습니다(기본정리입니다)

[구르밍]

쿨여누 답변 고맙습니다!