중학교 경시대회 문제입니다. 부탁드립니다.(기하+정수론)

[반시계방향]

저는 서울 소재 대학교에 재학중이고요.

이번에 중학생 경시대회 대비 과외를 해주고 있는데

기하 문제가 너무 어렵네요 -_ㅠ

나도 중학교 고등학교 때 KMO 나가서 은상 받고 그랬었는데

다른 건 다 그럭저럭 하겠는데 기하만...ㅠ

몇 문제 부탁드릴게요. 부탁드립니다 ㅠㅠ

1.

선 l_1 위에 점 A1,A2,A3가 있고

선 l_2 위에 점 B1,B2,B3가 있다.

A1B2와 A2B1의 교점 X, A1B3와 A3B1의 교점 Y, A2B3와 A3B2의 교점 Z는 공선점(한 직선 위의 점)임을 증명하여라.

2.

원에 내접하는 육각형 ABCDEF가 있다.

AB와 DE의 교점 K, BC와 EF의 교점 L, CD와 FA의 교점 M은 공선점임을 증명하여라.

3. (이건 정수론 문제입니다ㅠ)

(1) a^2 + b^2 = 2010/r (a,b,r은 모두 자연수)

이 식을 만족하는 a,b가 존재하는

최대의 자연수 r/최소의 자연수 r을 각각 구하여라.

(최대의 자연수 r은 당연히 2이겠지용? -0- 최소를 못 구하겠...ㅠ)

(2) a^2 + b^2 = 2010^2 을 만족하는 자연수 a,b의 순서쌍을 모두 구하여라.

[ataraxia]

3-(1)은 수물화금짱님의 말이 맞습니다. 최소값은 201, 최대값은 1005가 돼고요, 67이 modulo 4에 대해 나머지가 -1일 때 -1이 Quadratic Residue(이차잉여)가 아님을 이용해서 보일 수 있습니다 그런데 그게 중학생 수준인지는 잘은 모르겠습니다 (처음부터 시작하려면 Group의 개념이 좀 필요해 보이는데... 제가 경시쪽을 안해서 어느 수준까지 다루는지는 잘 모르겠습니다)

[반시계방향]

다들 너무 감사합니다.

3-1번은 a^2 + b^2이 4k-1 꼴의 divisor(a,b와 relatively prime인)를 갖지 않는다는 증명이 제가 가진 정수론 책에 있네요. 뭐 아니면 경우의 수가 몇 개 안되니까 일일이 modulo 8로 했을 때 두 수의 제곱수가 될 수 없음을 보여도 될 것 같습니다.

3-2번은 3-1번을 이용해서 쉽게 풀 수 있는 문제였네요. a, b, 2010이 Pythagoras' three number이니깐 2010=m(x^2 + y^2) 을 만족하는 정수 m, x, y가 있어야 한다는 사실로부터 3-1번과 같은 문제라는 게 나오네요.

[반시계방향]

그런데 hoyahoya님께는 죄송하지만 1번은 아무리 해도 세 삼각형이 닮음이 안 나오네요ㅠ 실제로도 아닌 것 같구요. A3랑 B3를 움직이면 삼각형 A1B1X는 고정인데 A2B2Y랑 A3B3Z가 움직이니까요. 그리고 세 삼각형이 대칭성도 없구요. 1번과 2번은 계속 해보고 있는데 안 풀리네요ㅠ

[반시계방향]

2번은 파스칼의 정리네요. 인터넷에서 쉽게 찾을 수 있네요 증명은. 해결된 것 같습니다. 1번은......................ㅠ

[hoyahoya]

아 그점에서 문제가 있었네요..음 1번 문제는 파프스의 정리로 풀리지 않을까요? 파프스의 정리에서 '평면에서 A,E,C가 한 직선 위의 서로 다른 세점이고, D,F,B가 또다른 한직선위의 서로 다른 세점이라면 선분 AB와 DE의 교점 P, 선분 BC와 FE의 교점 Q, 선분 CD와 AF의 교점 R은 한 직선 위에 있다.'라고 나와있는데, 각 점에 A1,A2,A3,B1,B2,B3를 각각 대입한 후에 FE,BC의 교점 Q를 조금 변형시켜서 BE,FC의 교점으로 고친다면 될 수 있을 것도 같네요...(증명은 메네라우스의 정리로 된다고 나와있네요)