이차함수 최대값 최소값문제! 급해요ㅠㅠ

[solpomo01]

점(-1.4)를 지나는 이차함수 y=ax²+bx의최대값이y=x²+2x+5의 최소값과 같을때 상수   a+b의값은?

y=x²+2ax+a 의 최소값을 a의함수 f(a)라할떄 f(a)의 최대값을구하시오

이거들좀뭔소리를하는지도모르겟어요

[solpomo01]

답변..좀요

[아직도잘몰라]

이차함수의 그래프를 그려보면 포물선의 형태를 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다. 이차항의 계수가 양수이면 아래로 볼록하고 음수이면 위로 볼록한 포물선이 되는데 아래로 볼록한 포물선은 일정한 값 아래로 내려가지 못하고(최솟값) 위로 볼록한 포물선은 일정한 값 위로 올라가지 못하는 성질때문에 최솟값과 최댓값을 갖게 됩니다.

[글쎄요!]

y=ax²+bx가 최대값을 가지므로 a는 음수이고 점(-1,4)를 지나므로
x=-1에서 y=4를 지난다. 즉 y=a*(-1)²+b*(-1)=a-b=4 이다

y의 최대값을 구하기 위하여 거듭제곱형태로 식을 바꾸면

y=ax²+bx=a(x+(b/2a))²-b²/(4a) 이므로 y의 최대값은 -b²/(4a)이다.

그리고 y=x²+2x+5의 최소값은 y=x²+2x+5=(x+1)² + 4 에서 최소값이 4임을 알수 있다.

따라서 y=ax²+bx의 최대값 -b²/(4a)=4 이다. 즉 b²= -16a 이다.

a-b=4이므로 (a-b)²=a²-2ab+b²=a²-2ab-16a=4²=16이다. 여기서 2ab= a²-16a-16 임을 알수있다.

a+b의 값을 구하기 위하여 (a+b)²를 먼저 구하면 (a+b)²=a²+2ab+b²= a² + a²-16a-16 -16a = 2a²-32a-16

[글쎄요!]

또한 a-b=4에서 b=a-4 이므로 이를 대입하면 (a+b)²=(a+a-4)²=(2a-4)²=4a²-16a+16 이다

따라서 2a²-32a-16=4a²-16a+16 이므로 양변을 정리하면 2a²+16a+32=2(a+4)²=0 따라서 a=-4, b=-8 이다.

a+b=(-4)+(-8)=-12

[글쎄요!]

y=x²+2ax+a =y=x²+2ax+(a² - a²) +a =(x+a)² -a²+a 이므로 x=-a에서 최소값 -a²+a를 가진다. 따라서 f(a)=-a²+a 이다.

f(a)=-a²+a=-(a²-a)=-(a²-a+(1/2)² -(1/2)² )= -(a-(1/2))²+(1/2)² , f(a)의 최대값은 f(1/2)=(1/2)²=1/4