1번문제..........
p,q가 자연수니깐
m두 당연히 자연수겠져?..자연수 x 자연수 = 자연수!!
m = p(p + 1)(p + q)
p, p + 1, p + q 는 모두 m의 약수입니다..;
그런데, 여기서 가장 큰 수는 p + q 입니다..
그렇지만 p + q는 절대 m 자신이 될 수 없습니다..
왜냐하면, p + q가 m 이 되어버리면
p(p + 1) 이 1 이 되어야 하는데..
연속한 두 자연수의 곱이 1이 되는 경우는 없습니다..ㅡㅡ;;
따라서 p + q는 m이 아니구염..
여기서, m 의 약수중에 7이 포함되어 있으니 m을 소인수분해 하면
7은 반드시 튀어나옵니다..^^
7은 다른 약수로 쪼개지지 않으니..
p, p + 1, p + q 이 셋중에 반드시 7이 있다는 소리에염..^^
p + 1 은 절대로 p + q 와 같지 않습니다..
만약 같다면 .. p값이 바로 나오고, 그 수는 7보다 더 큰수를 약수로
가지게 됩니다...따라서 문제에 맞지 않게되고,
p,p + 1,p + q는 모두 다른 수가 되고염..
이 중에서 가장 큰 수는 p + q 입니다..(p,q모두 자연수니깐..)
p + q = 7
이 문제 중학교 수준에선 상당한 난이도네염..따질게 많으니..
그럼 p(p + 1)7 = m 이란 소리구염..
이걸 말로 풀어쓰면
연속한 두 자연수 의 곱 x 7 = m
이구염..연속한 두 자연수의 곱은 항상 짝수입니다..맞져?
그럼 m은 14의 배수란 소리가 되염..^^
14의 배수중에..; 자기자신을 제외하고 7을 가장 큰 약수로
가지는 수는 14밖에 없습니다...^^
그래서 m은 14가 되고염..
p 의 값은 1이 되고, q의 값은 p + q = 7
에서 q = 6 이 됩니다..^^
원래 정수론 문제들은 머릿속으로 풀긴 쉬워도
그걸 조리있게 정리하는건 힘들져ㅡㅡ;;
2번 문제..
연속한 세 정수의 곱은...6의 배수
연속한 세 정수를..이렇게 나타내 보져..
n, n + 1, n + 2
그럼 n(n + 1)(n + 2)
그럼 이 수가 6의 배수란걸 증명하면 되는데염..
어떤 수가 6의 배수라면..
그 수는 짝수(2의 배수) 이면서 동시에 3의 배수가 됩니다..
연속한 두 자연수의 곱은 항상 짝수입니다......맞저?
그럼 n, n + 1, n + 2
이 세 자연수중 적어도 어느 한 수가 3의 배수면..;
주어진 문제를 증명한 셈이져? 3의 배수이면서 짝수이므로
주어진 수는 6의 배수이다..!
여기서 증명을 하기 전에,
모든 자연수(정수)는 3의 배수를 기준으로 다음 세가지로 분류가 됩니다
3으로 나누어서 나누어 떨어지는 수(3의배수)
3으로 나누어서 나머지가 1인 수,
3으로 나누어서 나머지가 2인 수..
모든 자연수(정수)는 이 셋중에 하나입니다..
맞저?
그럼 이 세가지 경우의 수를..
3k ,==>3의배수
3k + 1, ==>3으로 나누어서 나머지 1
3k + 2 ==>3으로 나누어서 나머지 2
모든 자연수는 여기에 포함됩니다.....이건 고등학겨 들어가시면 배워염
자 본론으로 돌아가서 n , n + 1 , n + 2
이 셋중 적어도 하나가 3의 배수이어야 합니다..
자연수 n에다가 저 세가지 경우를 집어넣으면 되져^^
i) n이 3의 배수인 경우..
그럼 바로 끝나네염..^^ n 이 3의 배수이므로
n(n + 1)(n + 2)는 6의배수
ii) n을 3으로 나누면 나머지가 1인경우
주어진 식에 n = 3k + 1을 대입하면
n = 3k + 1,
n + 1 = 3k + 2
n + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
n + 2가 3의 배수가 되네염...
결국 이 경우에도 n(n + 1)(n + 2)는 6의 배수입니다
iii) n을 3으로 나누면 나머지가 2인 경우..
n = 3k + 2
n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)
n + 2 = 3k + 4 = 3(k + 1) + 1
이번엔 n + 1이 3의 배수가 됩니다..^^
결국 이번에도 n(n + 1)(n + 2) 는 6의 배수가 되져..^^
i),ii),iii) 이 세가지에 의해
n(n + 1)(n + 2)==>
곧,연속한 세 자연수의 곱은 어떠한 경우에도 6의 배수가 됩니다..^^
왜냐하면 어떠한 경우에도 이 수는 3의 배수이며 동시에 짝수기
때문이져..^^
흠.여기서..설마 왜 연속한 두 자연수의 곱은 짝수인지..
모르시는건 아니겠져?ㅡㅡ;;
3번문제는 좀 색다른 유형의 문제네염..;;
문제의 요점만 파악하면 색다른 문제도 쉽게 풀 수 있습니다..^^
이 문제의 요점은 어떤 자연수(정수)가 있을때
이 수가 3의 배수인가,또는 6의 배수인가를 판별할 수 있느냐..;;
이겁니다..ㅡㅡ;
이건 상식으로 알아두세염..^^
1.어떤 수의 각 자릿수의 합이 3의 배수이면..
그 어떤 수는 3의 배수이다..
예를들어 12345 란 수는 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 이고
15는 3의 배수이므로 12345는 3의 배수이다..
2.어떤 수가 짝수이면서 동시에 1의 조건을 만족한다면
그 수는 6의 배수이다...2와 3의 공배수는 6의 배수자나염..^^
문제에서
명제 1을 한번 볼까염?
(1)m이 3의 배수일 필/충 조건은 n이 3의 배수이다..
님..필요조건,충분조건,필요충분조건이 뭔말인지는 아세염?
이거 고등학교 과정인데..ㅡㅡ;;아신다면 설명은 생략할께염
m은 n에 임의로 0을 첨가한 수랩니다..ㅡㅡ;
수에 0을 아무리 첨가해봤자 각 자리의 합은 변하지 않져?
0을 아무리 더한대도 결과가 달라지지 않자나염..^^
쉽게 말해 두 수 m과 n은 각 자리의 합이 서로 같습니다
결국 m이 3의 배수라면 0을 쏙 뺸 n도 3의 배수일테고
반대로 n이 3의 배수이면
여기에 0을 끼워 넣어서 부풀린 m도 3의 배수겠지여..^^
서로 쌍방이 성립하므로
명제 (1) 는 필요충분조건이 맞고, 따라서 참 입니다..
명제 (2)는..약간 복잡하네염..
부풀린 수 m이 6의 배수이면 0을 쏙 뺀 n도 6의 배수이다?
예를들어 m = 204010500 라고 할때염..
m은 6의 배수 입니다..2 + 4 + 1 + 5 = 15 이고 15는 3의 배수이며
끝자리가 0이므로 이 수m은 짝수입니다...
따라서 m은 6의 배수..
그럼 여기서 0을 쏙 뺸 n을 생각해보져..
n = 2415
n은 2 + 4 + 1 + 5 = 15 ....따라서 3의 배수이긴 합니다만..
끝자리가 5네염..; 그럼 짝수가 아닙니다..;;
따라서 N은 6의 배수가 아닙니다.....
M이 6의 배수라고 항상 N이 6의 배수는 아니라는 야그져....
그럼 필요충분 조건은 아니게 되는거져..;서로 쌍방이 성립하는게
아니니깐여..^^
따라서, 명제 (2) 는 구라! 거짓입니다..ㅡㅡ;
음 더 생각해보시면 n이 6의 배수면
이겨에 0을 끼워넣은 m도 항상 6의 배수란걸 알 수 있어염..;
따라서
m이 6의 배수이다<==이말은 n이 6의 배수이기 위한 필요조건! 입니다..
휴..긴글 썼네염..ㅡㅡ;
정수론은 역시 어려워..ㅡㅡ
글수학 하세염..^^
--------------------- [원본 메세지] ---------------------
1. 자연수 p,q 에 대하여 m=p(p+1)(p+q)이고, m보다 작은 m의 약수 중
최대수는 7이다. 이 때, p,q의 값을 구하여라.
2. 연속된 세 정수의 곱이 6의 배수임을 증명하여라.
3. 어떤 수데 임의로 0을 삽입할 때 "뚱뚜하게 만든다"고 한다.
m이 n의 뚱뚱한 꼴일 때 다음이 참인지 거짓인지를 판별하여라.
(예: 2030041290은 234129를 뚱뚱하게 만든 수이다.)
(1)m이 3의 배수일 필요충분조건은 n이 3의 배수인 것이다.
(2)m이 6의 배수일 필요충분조건은 n이 6의 배수인 것이다.
제가.. 실력이.. 좀.. 딸리는 지라.. 잘 모르겠거든요..
꼭~~ 좀 가르쳐 주세요!! 그리고.. 괜찮으시다면.. 풀이도..
좀.. 자세하게 써주시면.. 고맙겠습니다....
p,q가 자연수니깐
m두 당연히 자연수겠져?..자연수 x 자연수 = 자연수!!
m = p(p + 1)(p + q)
p, p + 1, p + q 는 모두 m의 약수입니다..;
그런데, 여기서 가장 큰 수는 p + q 입니다..
그렇지만 p + q는 절대 m 자신이 될 수 없습니다..
왜냐하면, p + q가 m 이 되어버리면
p(p + 1) 이 1 이 되어야 하는데..
연속한 두 자연수의 곱이 1이 되는 경우는 없습니다..ㅡㅡ;;
따라서 p + q는 m이 아니구염..
여기서, m 의 약수중에 7이 포함되어 있으니 m을 소인수분해 하면
7은 반드시 튀어나옵니다..^^
7은 다른 약수로 쪼개지지 않으니..
p, p + 1, p + q 이 셋중에 반드시 7이 있다는 소리에염..^^
p + 1 은 절대로 p + q 와 같지 않습니다..
만약 같다면 .. p값이 바로 나오고, 그 수는 7보다 더 큰수를 약수로
가지게 됩니다...따라서 문제에 맞지 않게되고,
p,p + 1,p + q는 모두 다른 수가 되고염..
이 중에서 가장 큰 수는 p + q 입니다..(p,q모두 자연수니깐..)
p + q = 7
이 문제 중학교 수준에선 상당한 난이도네염..따질게 많으니..
그럼 p(p + 1)7 = m 이란 소리구염..
이걸 말로 풀어쓰면
연속한 두 자연수 의 곱 x 7 = m
이구염..연속한 두 자연수의 곱은 항상 짝수입니다..맞져?
그럼 m은 14의 배수란 소리가 되염..^^
14의 배수중에..; 자기자신을 제외하고 7을 가장 큰 약수로
가지는 수는 14밖에 없습니다...^^
그래서 m은 14가 되고염..
p 의 값은 1이 되고, q의 값은 p + q = 7
에서 q = 6 이 됩니다..^^
원래 정수론 문제들은 머릿속으로 풀긴 쉬워도
그걸 조리있게 정리하는건 힘들져ㅡㅡ;;
2번 문제..
연속한 세 정수의 곱은...6의 배수
연속한 세 정수를..이렇게 나타내 보져..
n, n + 1, n + 2
그럼 n(n + 1)(n + 2)
그럼 이 수가 6의 배수란걸 증명하면 되는데염..
어떤 수가 6의 배수라면..
그 수는 짝수(2의 배수) 이면서 동시에 3의 배수가 됩니다..
연속한 두 자연수의 곱은 항상 짝수입니다......맞저?
그럼 n, n + 1, n + 2
이 세 자연수중 적어도 어느 한 수가 3의 배수면..;
주어진 문제를 증명한 셈이져? 3의 배수이면서 짝수이므로
주어진 수는 6의 배수이다..!
여기서 증명을 하기 전에,
모든 자연수(정수)는 3의 배수를 기준으로 다음 세가지로 분류가 됩니다
3으로 나누어서 나누어 떨어지는 수(3의배수)
3으로 나누어서 나머지가 1인 수,
3으로 나누어서 나머지가 2인 수..
모든 자연수(정수)는 이 셋중에 하나입니다..
맞저?
그럼 이 세가지 경우의 수를..
3k ,==>3의배수
3k + 1, ==>3으로 나누어서 나머지 1
3k + 2 ==>3으로 나누어서 나머지 2
모든 자연수는 여기에 포함됩니다.....이건 고등학겨 들어가시면 배워염
자 본론으로 돌아가서 n , n + 1 , n + 2
이 셋중 적어도 하나가 3의 배수이어야 합니다..
자연수 n에다가 저 세가지 경우를 집어넣으면 되져^^
i) n이 3의 배수인 경우..
그럼 바로 끝나네염..^^ n 이 3의 배수이므로
n(n + 1)(n + 2)는 6의배수
ii) n을 3으로 나누면 나머지가 1인경우
주어진 식에 n = 3k + 1을 대입하면
n = 3k + 1,
n + 1 = 3k + 2
n + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
n + 2가 3의 배수가 되네염...
결국 이 경우에도 n(n + 1)(n + 2)는 6의 배수입니다
iii) n을 3으로 나누면 나머지가 2인 경우..
n = 3k + 2
n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)
n + 2 = 3k + 4 = 3(k + 1) + 1
이번엔 n + 1이 3의 배수가 됩니다..^^
결국 이번에도 n(n + 1)(n + 2) 는 6의 배수가 되져..^^
i),ii),iii) 이 세가지에 의해
n(n + 1)(n + 2)==>
곧,연속한 세 자연수의 곱은 어떠한 경우에도 6의 배수가 됩니다..^^
왜냐하면 어떠한 경우에도 이 수는 3의 배수이며 동시에 짝수기
때문이져..^^
흠.여기서..설마 왜 연속한 두 자연수의 곱은 짝수인지..
모르시는건 아니겠져?ㅡㅡ;;
3번문제는 좀 색다른 유형의 문제네염..;;
문제의 요점만 파악하면 색다른 문제도 쉽게 풀 수 있습니다..^^
이 문제의 요점은 어떤 자연수(정수)가 있을때
이 수가 3의 배수인가,또는 6의 배수인가를 판별할 수 있느냐..;;
이겁니다..ㅡㅡ;
이건 상식으로 알아두세염..^^
1.어떤 수의 각 자릿수의 합이 3의 배수이면..
그 어떤 수는 3의 배수이다..
예를들어 12345 란 수는 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 이고
15는 3의 배수이므로 12345는 3의 배수이다..
2.어떤 수가 짝수이면서 동시에 1의 조건을 만족한다면
그 수는 6의 배수이다...2와 3의 공배수는 6의 배수자나염..^^
문제에서
명제 1을 한번 볼까염?
(1)m이 3의 배수일 필/충 조건은 n이 3의 배수이다..
님..필요조건,충분조건,필요충분조건이 뭔말인지는 아세염?
이거 고등학교 과정인데..ㅡㅡ;;아신다면 설명은 생략할께염
m은 n에 임의로 0을 첨가한 수랩니다..ㅡㅡ;
수에 0을 아무리 첨가해봤자 각 자리의 합은 변하지 않져?
0을 아무리 더한대도 결과가 달라지지 않자나염..^^
쉽게 말해 두 수 m과 n은 각 자리의 합이 서로 같습니다
결국 m이 3의 배수라면 0을 쏙 뺸 n도 3의 배수일테고
반대로 n이 3의 배수이면
여기에 0을 끼워 넣어서 부풀린 m도 3의 배수겠지여..^^
서로 쌍방이 성립하므로
명제 (1) 는 필요충분조건이 맞고, 따라서 참 입니다..
명제 (2)는..약간 복잡하네염..
부풀린 수 m이 6의 배수이면 0을 쏙 뺀 n도 6의 배수이다?
예를들어 m = 204010500 라고 할때염..
m은 6의 배수 입니다..2 + 4 + 1 + 5 = 15 이고 15는 3의 배수이며
끝자리가 0이므로 이 수m은 짝수입니다...
따라서 m은 6의 배수..
그럼 여기서 0을 쏙 뺸 n을 생각해보져..
n = 2415
n은 2 + 4 + 1 + 5 = 15 ....따라서 3의 배수이긴 합니다만..
끝자리가 5네염..; 그럼 짝수가 아닙니다..;;
따라서 N은 6의 배수가 아닙니다.....
M이 6의 배수라고 항상 N이 6의 배수는 아니라는 야그져....
그럼 필요충분 조건은 아니게 되는거져..;서로 쌍방이 성립하는게
아니니깐여..^^
따라서, 명제 (2) 는 구라! 거짓입니다..ㅡㅡ;
음 더 생각해보시면 n이 6의 배수면
이겨에 0을 끼워넣은 m도 항상 6의 배수란걸 알 수 있어염..;
따라서
m이 6의 배수이다<==이말은 n이 6의 배수이기 위한 필요조건! 입니다..
휴..긴글 썼네염..ㅡㅡ;
정수론은 역시 어려워..ㅡㅡ
글수학 하세염..^^
--------------------- [원본 메세지] ---------------------
1. 자연수 p,q 에 대하여 m=p(p+1)(p+q)이고, m보다 작은 m의 약수 중
최대수는 7이다. 이 때, p,q의 값을 구하여라.
2. 연속된 세 정수의 곱이 6의 배수임을 증명하여라.
3. 어떤 수데 임의로 0을 삽입할 때 "뚱뚜하게 만든다"고 한다.
m이 n의 뚱뚱한 꼴일 때 다음이 참인지 거짓인지를 판별하여라.
(예: 2030041290은 234129를 뚱뚱하게 만든 수이다.)
(1)m이 3의 배수일 필요충분조건은 n이 3의 배수인 것이다.
(2)m이 6의 배수일 필요충분조건은 n이 6의 배수인 것이다.
제가.. 실력이.. 좀.. 딸리는 지라.. 잘 모르겠거든요..
꼭~~ 좀 가르쳐 주세요!! 그리고.. 괜찮으시다면.. 풀이도..
좀.. 자세하게 써주시면.. 고맙겠습니다....
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