이제 중2 되시나요? 아님 지금 중2인가요?
저도 지금 중2랍니다^-^*
공부열심히 하세요~ 그럼 밑에꺼 참고~~
귀류법이라는건.. 명제의 결론 혹은 가정을 부정하여 그명제가 모순됨을 이끌어내어 증명하는 방법입니다..
이해안된다구요? ^^;;
제가 이거 정석 10-가 2단원에서 배웠습니다.
명제 아시져? p이면 q이다...
이거의 역, 이, 대우와함께 부정하는 방법을 배우는데,
이 부정하는 방법과 귀류법을 같이 배우게 됩니다.
만약 p이면 q이다. 를 증명할때,
~p이면 q이다. 라고 해놓고 한다면
말이 안되겠죠?
이렇게 '말이 안된다'를 수학에선 모순된다라고 하며,
~p이면 q이다, 또는 p이면 ~q이다, 를 모순임을 밝혀내어
원래 명제인 p이면 q이다 가 참임을 밝히는겁니다.
일단, 님이 올린문제중 루트2 + 루트3을 무리수임을
밝히는 문제로 예를 들겠습니다.
문제)루트 2가 무리수임을 이용하여 루트2 + 루트 3 이 무리수라는것을 증명하여라..
일단 전, 이 문제를 증명하기 위해 유리수 - 무리수= 무리수 임을
밝히는 증명부터 해야 할것 같아 먼저 그 증명을하겠습니다.
유리수 - 무리수 = 무리수 임을 증명하기
유리수 - 무리수 = 유리수 라고 하자.
-> 유리수 - 무리수 = 무리수 가 참이면, 방금 유리수- 무리수 = 유리수 는 거짓이 되겠죠? 즉, 모순이 된다는겁니다.
-> 유리수 - 무리수 = 유리수 가 모순이라면, 자연히 유리수 - 무리수 = 무리수 라는게 증명이 되겠죠?
그러면,
유리수 - 유리수 = 무리수 -> 이항한것
그러나 유리수는 사칙연산(+,-,*,÷)에 대하여 닫혀있다. -> 이거 하려면 시간이 꽤걸리는데.. 이거 알구 계시나요? 나중에라도..
따라서 유리수 - 유리수 = 유리수 이다. -> 유리수는 사칙연산에 대해 닫혀있으므로, 유리수끼리 나누거나 곱하거나 더하거나 빼도 언제나 그 결과는 유리수가 된다는것입니다.
이것은 모순이다.
-> 유리수 - 무리수= 무리수 임을 증명하기 위해 우리는
유리수 - 무리수 = 유리수 라고해놓고, 이것이 모순됨을 밝히려고 했습니다.
유리수 - 무리수 = 유리수 를,
이항하여 유리수 - 유리수 = 무리수 라고 했고,
유리수는 사칙연산에 닫혀있으므로
유리수 - 유리수 = 유리수 라고 했습니다.
유리수 - 무리수 = 유리수 를 이항하여 유리수- 유리수 = 무리수 라는걸 얻었는데
이젠 또 유리수 - 유리수 = 유리수라죠? 즉, 모순이라는 것입니다.
따라서 유리수 - 무리수 = 무리수 이다. - ①
-> 그러므로 참!
*그럼 본론으로 들어가서..
√2 + √3 이 유리수라고 가정하자.
-> √2 + √3 이 무리수임을 밝히랬죠? 일단 유리수라고 가정합니다. 이것이 모순이라면, 자동적으로 √2+√3 은 무리수가 됩니다.
√2는 무리수이므로 -> 문제에서, √2가 무리수임을 이용하라고 했죠?
√2(무리수) + √3 = 유리수 -> 무리수 + √3 = 유리수
∴유리수 - (√2)무리수 = √3 - ②
②에서, ①을 적용하면, √3 은 무리수라는 결론이 나온다.
->①에서, 유리수 - 무리수 = 무리수 라고 했습니다.
->방금 ②에서 유리수 - 무리수(√2) = √3 이니까
당연히 √3 은 무리수라는 결론이 됩니다.
유리수 - 무리수(√2) = 무리수(√3) 로 나타낼수 있다.
∴유리수 = 무리수(√2) + 무리수(√3)
그런데, 무리수(√2) + 무리수(√3)가 유리수가 되려면
절대값이 같고 부호가 다르며, 유리수가 0이 되는 경우밖에 성립하지 않는다.
->예 ) 무리수 + 무리수 = 유리수가 되는 경우는 있습니다.
그러나, 그경우엔 (- √2) + √2 = 0
또는 √3 + (- √3) = 0 등등.. 유리수는 언제나 0이고,
무리수 + 무리수 에서 두 무리수는 절대값은 같고 부호는 다른 관계가 됩니다.
그러므로
l√2l = l√3l
-> 두 무리수는 절대값은 같고 부호는 다른 관계랬죠?
그런데, √2의 절대값과 √3의 절대값은 같지않습니다.
따라서, 이것은 모순이 됩니다.
-> 부호가 같다는것도 모순됨을 보일수 있습니다.
(현재 √2와 √3은 0보다 큰 양수이므로, 서로 합해 양수끼리 0이 될순 없죠? 또한, 부호가 다르고 절대값이 같아야 하죠.
하지만 √2와 √3은 부호가 다르거나 혹은 절대값이 같은 두 조건을 하나도 충족시키지 않습니다.
따라서 모순이라는 결론이 나오게 되지요.
그래서 √2 + √3 에서 √2가 무리수임을 알때, √2와 √3의 합은 유리수일때 모순이므로 무리수임을 알수 있습니다.)
것은 모순이다.
->그러므로 √2+√3 = 유리수 라는게 모순이므로
->√2+√3 = 유리수 가 아닌 무리수 라는 결론이 나온다!
따라서, √2 + √3 은 무리수이다.
길어졌져? ^^;;
막말로..
귀류법을 하자면
문제에서 주어진 조건중 하나를 맘대로 바꾸고(물론 부정인 형태로) 그게 말이 안된다는것을 보이면 됩니다.
쉽다고 볼수도 잇겠는데.. 어쩌고 보면 어렵죠 ^^;;
정석사시는게 어떨런지 ^^;;
전 귀류법을 알고있어서요.. 귀납법 익히는 노력중입니다 +_+
저도 지금 중2랍니다^-^*
공부열심히 하세요~ 그럼 밑에꺼 참고~~
귀류법이라는건.. 명제의 결론 혹은 가정을 부정하여 그명제가 모순됨을 이끌어내어 증명하는 방법입니다..
이해안된다구요? ^^;;
제가 이거 정석 10-가 2단원에서 배웠습니다.
명제 아시져? p이면 q이다...
이거의 역, 이, 대우와함께 부정하는 방법을 배우는데,
이 부정하는 방법과 귀류법을 같이 배우게 됩니다.
만약 p이면 q이다. 를 증명할때,
~p이면 q이다. 라고 해놓고 한다면
말이 안되겠죠?
이렇게 '말이 안된다'를 수학에선 모순된다라고 하며,
~p이면 q이다, 또는 p이면 ~q이다, 를 모순임을 밝혀내어
원래 명제인 p이면 q이다 가 참임을 밝히는겁니다.
일단, 님이 올린문제중 루트2 + 루트3을 무리수임을
밝히는 문제로 예를 들겠습니다.
문제)루트 2가 무리수임을 이용하여 루트2 + 루트 3 이 무리수라는것을 증명하여라..
일단 전, 이 문제를 증명하기 위해 유리수 - 무리수= 무리수 임을
밝히는 증명부터 해야 할것 같아 먼저 그 증명을하겠습니다.
유리수 - 무리수 = 무리수 임을 증명하기
유리수 - 무리수 = 유리수 라고 하자.
-> 유리수 - 무리수 = 무리수 가 참이면, 방금 유리수- 무리수 = 유리수 는 거짓이 되겠죠? 즉, 모순이 된다는겁니다.
-> 유리수 - 무리수 = 유리수 가 모순이라면, 자연히 유리수 - 무리수 = 무리수 라는게 증명이 되겠죠?
그러면,
유리수 - 유리수 = 무리수 -> 이항한것
그러나 유리수는 사칙연산(+,-,*,÷)에 대하여 닫혀있다. -> 이거 하려면 시간이 꽤걸리는데.. 이거 알구 계시나요? 나중에라도..
따라서 유리수 - 유리수 = 유리수 이다. -> 유리수는 사칙연산에 대해 닫혀있으므로, 유리수끼리 나누거나 곱하거나 더하거나 빼도 언제나 그 결과는 유리수가 된다는것입니다.
이것은 모순이다.
-> 유리수 - 무리수= 무리수 임을 증명하기 위해 우리는
유리수 - 무리수 = 유리수 라고해놓고, 이것이 모순됨을 밝히려고 했습니다.
유리수 - 무리수 = 유리수 를,
이항하여 유리수 - 유리수 = 무리수 라고 했고,
유리수는 사칙연산에 닫혀있으므로
유리수 - 유리수 = 유리수 라고 했습니다.
유리수 - 무리수 = 유리수 를 이항하여 유리수- 유리수 = 무리수 라는걸 얻었는데
이젠 또 유리수 - 유리수 = 유리수라죠? 즉, 모순이라는 것입니다.
따라서 유리수 - 무리수 = 무리수 이다. - ①
-> 그러므로 참!
*그럼 본론으로 들어가서..
√2 + √3 이 유리수라고 가정하자.
-> √2 + √3 이 무리수임을 밝히랬죠? 일단 유리수라고 가정합니다. 이것이 모순이라면, 자동적으로 √2+√3 은 무리수가 됩니다.
√2는 무리수이므로 -> 문제에서, √2가 무리수임을 이용하라고 했죠?
√2(무리수) + √3 = 유리수 -> 무리수 + √3 = 유리수
∴유리수 - (√2)무리수 = √3 - ②
②에서, ①을 적용하면, √3 은 무리수라는 결론이 나온다.
->①에서, 유리수 - 무리수 = 무리수 라고 했습니다.
->방금 ②에서 유리수 - 무리수(√2) = √3 이니까
당연히 √3 은 무리수라는 결론이 됩니다.
유리수 - 무리수(√2) = 무리수(√3) 로 나타낼수 있다.
∴유리수 = 무리수(√2) + 무리수(√3)
그런데, 무리수(√2) + 무리수(√3)가 유리수가 되려면
절대값이 같고 부호가 다르며, 유리수가 0이 되는 경우밖에 성립하지 않는다.
->예 ) 무리수 + 무리수 = 유리수가 되는 경우는 있습니다.
그러나, 그경우엔 (- √2) + √2 = 0
또는 √3 + (- √3) = 0 등등.. 유리수는 언제나 0이고,
무리수 + 무리수 에서 두 무리수는 절대값은 같고 부호는 다른 관계가 됩니다.
그러므로
l√2l = l√3l
-> 두 무리수는 절대값은 같고 부호는 다른 관계랬죠?
그런데, √2의 절대값과 √3의 절대값은 같지않습니다.
따라서, 이것은 모순이 됩니다.
-> 부호가 같다는것도 모순됨을 보일수 있습니다.
(현재 √2와 √3은 0보다 큰 양수이므로, 서로 합해 양수끼리 0이 될순 없죠? 또한, 부호가 다르고 절대값이 같아야 하죠.
하지만 √2와 √3은 부호가 다르거나 혹은 절대값이 같은 두 조건을 하나도 충족시키지 않습니다.
따라서 모순이라는 결론이 나오게 되지요.
그래서 √2 + √3 에서 √2가 무리수임을 알때, √2와 √3의 합은 유리수일때 모순이므로 무리수임을 알수 있습니다.)
것은 모순이다.
->그러므로 √2+√3 = 유리수 라는게 모순이므로
->√2+√3 = 유리수 가 아닌 무리수 라는 결론이 나온다!
따라서, √2 + √3 은 무리수이다.
길어졌져? ^^;;
막말로..
귀류법을 하자면
문제에서 주어진 조건중 하나를 맘대로 바꾸고(물론 부정인 형태로) 그게 말이 안된다는것을 보이면 됩니다.
쉽다고 볼수도 잇겠는데.. 어쩌고 보면 어렵죠 ^^;;
정석사시는게 어떨런지 ^^;;
전 귀류법을 알고있어서요.. 귀납법 익히는 노력중입니다 +_+
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