천재 ^^* 멋져 조완~~ ^^*
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이문제로 며칠동안 고민했슴다.
근데 귀류법으로 하면 이외로 쉽게 증명되더라구요......^^
우선 같은 둘레를 가지는 최대 넓이를 가지는 다각형은
불록다각형입니다.(오목일때 대칭시켜서 밖으로 꺼집어내면 둘레는 유지되고 넓이는 늘어나니까....)
어떤 둘레s를 가지는 볼록n각형에 대해서 생각해봅시다.
만일.....이러한 볼록n각형 중 넓이가 최대인 다각형이 정다각형이 아니라고 가정합시다.
그러면 이다각형안에 어떤 인접한 두변이 존재해서 그 변의 길이는 같지 않습니다. 그 두 변의 크기를 p,q라고 하죠.p,q사이 점을 A라 하고..
A만을 적당히 움직여서
두 변이 p+q/2,p+q/2인 또다른 다각형을 생성할 수 있습니다.
이때......새로 생긴 다각형의 둘레의 길이는 보존됩니다.
자 이제 두 다각형이 넓이를 비교해볼까요....사실상 A부근의 삼각형의 넓이만 비교해보면 되죠??
뒤의 다각형의 넓이가 큰 걸 알수 있겠죠??(그냥 쉽게 헤론의 공식에서
둘레와 한 변이 정해진경우.....나머지 두 변이 같을 때....넓이가 최대임을 바로 보일 수 있으니까.....생략...)
즉 원래 가정한 다각형보다 더 넓이가 큰 다각형이 나왔습니다.
그니까 모순......
따라서..........어떤 n각형이 넓이가 최대일때는 정n각형일때이다.
radiohead, suede, muse, travis.............^^
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같은 둘레의 정다각형과 다각형에서
왜 정다각형이 그냥 다각형보다 훨씬 큰 넓이를
가질 수 있는 이유가 무엇일까요???
증명할 수 있을까요?
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