실수로 이루어진 어떤 집합 A가 만약 위로유계(상계가 있음)일 경우에,
집합 A의 상계는 무수히 많을 것입니다.
만일 A={x|x<1}이면 2, 3, 2.5, 100, 십억, 등등이 모두 A의 상계가 되죠.
여기서, 그 상계들 중에는 가장 작은 상계가 실수 중에 반드시 있다는 것이 최소 상계의 원리입니다.
A의 경우에 가장 작은 상계는 1이죠. 왜냐하면,
(i) 우선 1은 A의 상계가 되고,
(ii) 1보다 작은 어떤 수가 있다면, 그 수는 A의 상계가 안되기 때문이죠. 가령, 0.999는 A의 상계가 안됩니다. 왜냐면, 0.9995라는 0.999보다 큰 녀석이 A에 들어있기 때문이죠.
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실수로 이루어진 어떤 집합은 반드시 최소상계원리가 성립합니다.
"위로 유계이면 반드시 최소의 상계가 실수 중에 있다."
아니, 그건 당연한 성질 아닌가? 하고 물을 수도 있습니다.
그러나 그렇지 않습니다. 유리수의 경우엔 최소상계원리가 성립하지 않습니다.
예를 들면,
유리수의 부분집합 A={x| x < root(2) }로 하면, A는 분명이 위로유계입니다. 상계는 무수히 많은데, 그 상계 중 가장 작은 상계가 유리수 중엔 없습니다. 가장 작은 상계를 유리수 중에 찾을 수 없습니다.
참고로, 실수는 최대하계원리("아래로유계이면 최대의 하계가 있다")도 갖습니다.
그리고, 집합 A의 최소상계를 sup A 로 쓰고 (sup은 supremum의 약자입니다.) 집합 A의 최대하계는 inf A 로 쓴답니다.
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(아는 척 몇개 더 하겠습니다.)
실수는 최소상계원리를 가지고 있다 (Real numbers has the least-upper-bound property). 이것은 어떻게 보면 실수 집합의 본질을 말한 것으로 볼 수 있을 정도로 중요한 사실이랍니다. 실수집합을 "유리수 집합을 포함하며 최소상계원리를 갖는 집합"으로 정의한답니다.
집합 A의 상계는 무수히 많을 것입니다.
만일 A={x|x<1}이면 2, 3, 2.5, 100, 십억, 등등이 모두 A의 상계가 되죠.
여기서, 그 상계들 중에는 가장 작은 상계가 실수 중에 반드시 있다는 것이 최소 상계의 원리입니다.
A의 경우에 가장 작은 상계는 1이죠. 왜냐하면,
(i) 우선 1은 A의 상계가 되고,
(ii) 1보다 작은 어떤 수가 있다면, 그 수는 A의 상계가 안되기 때문이죠. 가령, 0.999는 A의 상계가 안됩니다. 왜냐면, 0.9995라는 0.999보다 큰 녀석이 A에 들어있기 때문이죠.
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실수로 이루어진 어떤 집합은 반드시 최소상계원리가 성립합니다.
"위로 유계이면 반드시 최소의 상계가 실수 중에 있다."
아니, 그건 당연한 성질 아닌가? 하고 물을 수도 있습니다.
그러나 그렇지 않습니다. 유리수의 경우엔 최소상계원리가 성립하지 않습니다.
예를 들면,
유리수의 부분집합 A={x| x < root(2) }로 하면, A는 분명이 위로유계입니다. 상계는 무수히 많은데, 그 상계 중 가장 작은 상계가 유리수 중엔 없습니다. 가장 작은 상계를 유리수 중에 찾을 수 없습니다.
참고로, 실수는 최대하계원리("아래로유계이면 최대의 하계가 있다")도 갖습니다.
그리고, 집합 A의 최소상계를 sup A 로 쓰고 (sup은 supremum의 약자입니다.) 집합 A의 최대하계는 inf A 로 쓴답니다.
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(아는 척 몇개 더 하겠습니다.)
실수는 최소상계원리를 가지고 있다 (Real numbers has the least-upper-bound property). 이것은 어떻게 보면 실수 집합의 본질을 말한 것으로 볼 수 있을 정도로 중요한 사실이랍니다. 실수집합을 "유리수 집합을 포함하며 최소상계원리를 갖는 집합"으로 정의한답니다.
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