Re:드므아브르 정리

[ggoo]

1번 문제의 두번째만... 할게요...

>>x^5=1, x^6=1 과 같은 방정식을 이항방정식이라고.. 한답니다...
>>수2 책에 잘 나와 있음...

>>풀이: i)x^5=1의 풀이=>> x를 일반적으로 복소수 Z=cos(theta)+isin(theta)라고 두면, 드 무아브르 정리에 의해, cos5(theta)+isin5(theta)=1 이고, 이것은 복소평면에 단위원을 그렸을 때, (theta)의 5배가 360도 임을 의미한다. 또 1이 근이므로 따라서 단위원을 (2pi/5) 씩 등분한 점의 좌표입니다. 따라서 답은 : 1,
cos(2pi/5)+isin(2pi/5),
cos(4pi/5)+isin(4pi/5), cos(6pi/5)+isin(6pi/5),
cos(8pi/5)+isin(8pi/5) 의 5개가 됩니다. 같은 방법으로 x^6=1의 답은
: 1, cos(pi/3)+isin(pi/3), cos(2pi/3)+isin(2pi/3),
cos(pi)+isin(pi), cos(4pi/3)+isin(4pi/3), cos(5pi/3)+isin(5pi/3)
의 6개 입니다...
>>드 무아브르 정리의 증명은 수학적 귀납법에 의하면,
>>i)n=1 : cosx+isinx=cosx+isinx(성립)
>>ii)n=k : (cosx+isinx)^k=coskx+isinkx 라고 가정한다.
>>iii)n=k+1 : (cosx+isinx)^(k+1)=(coskx+isinkx)(cosx+isinx)
={cos(k+1)x+isin(k+1)x}//
>>여기서, (cosx)(cosy)=1/2*{cos(x+y)/2+cos(x-y)/2},
(sinx)(siny)=-1/2*{cos(x+y)/2-cos(x-y)/2},
(sinx)(cosy)=1/2*{sin(x+y)/2+sin(x-y)/2},
(cosx)(siny)=1/2*{sin(x+y)/2-sin(x-y)/2}
를 이용하면 됩니다...