Diophantus방정식은 정수 계수를 가진 다항방정식으로서 변수의 개수와 차수에는 제한이 없으며, 그 정수해를 구하는 것이 목표다. 기나긴 정수론의 역사는 크게 소수에 대한 연구의 역사와 Diophantus방정식에 대한 연구의 역사로 분류할 수 있을 정도로 Diophantus방정식은 많은 수학자들에 의하여 연구되어 왔다. 소위 Fermat방정식
x^n+y^n=z^n,n≥3
이나,Pell의 방정식
x^2-dy^2=1,
그리고 타원방정식 y^2=x^3+ax+b
등이 별도의 이름을 지닌 Diophantus방정식의 예이며, 이처럼 별도의 이름을 지닌 Diophantus방정식만 해도 무수히 많다.
이 Diophantus방정식에 대한 문제를 Hilbert는 자신의 23문제의 하나로 포함시켰다.
그 내용은 다음과 같다.
((HP 10))
임의의 Diophantus방정식에 대하여 정수해가 있는지 없는지를 판정하는 알고리즘이 존재하는가?
---->이 문제에 대한 답은....물론 존재하지 않는다.
다만, 특정한 경우의 Diophantus방정식의 정수해가 있는지 여부를 판정하는 알고리즘은 존재한다.
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