조병호 님을 위해서 저의 풀이(?)를 적겠습니다.
우선 정사각형 이야기 먼저 하죠.
모든 정사각형은 닮은 도형입니다.
그래서 둘레의 길이는 정사각형의 한변의 길이에 비례합니다.
우리는 그 비례상수가 4 라는 것을 알고 있습니다.
즉, 정사각형의 둘레의 길이 = 4 * 정사각형의 한변의 길이
하지만 이렇게 해도 큰 문제는 없죠.
정사각형의 둘레의 길이 = 2 sqrt(2) * 정사각형의 대각선의 길이
sqrt(2) 는 "루트 2" 를 뜻합니다.
마찬가지로 모든 원은 닮았습니다.
그래서 원의 둘레의 길이는 반지름의 길이에 비례합니다.
(이 부분은 인정 하시죠?)
우리는 그 비례상수가 2 * pi 라는 것을 알고 있습니다.
즉, 원의 둘레의 길이 = 2 pi * 반지름의 길이
하지만 이렇게 해도 큰 문제는 없죠.
원의 둘레의 길이 = pi * 지름의 길이
지금 여기서 강조하고 싶은 사실은 pi(원주율) 라는 상수가 어떤 값인지 아직 모릅니다.
실험에 의해서 대충 3.14 정도 된다는 것은 알 수 있겠지만 정확한 값은 아직 모릅니다.
어떤 값인지는 알 수 없지만 "원 둘레와 반지름 사이의 비례상수"라는 것은 정확히 말하고 싶군요.
이 값을 구하는 것은 뒤에 하겠습니다.
앞으로 pi 라는 상수를 계속 사용하겠지만 그 상수의 값은 뒤에 구하기 전 까지는 정확한 값을 모릅니다.
그렇지만 그 상수가 얼마인지는 모르더라도 논리를 전개하는데는 문제가 없습니다.
이 부분에서 강조하고 싶은 것은 "2 pi 는 원 둘레와 반지름 사이를 연결하는 비례상수" 입니다.
원 둘레의 길이 = 2pi * 반지름의 길이.
반지름이 늘어나거나 줄어들다고 해서 위의 식이
"원 둘레의 길이 = 3 pi * 반지름의 길이" 이나
"원 둘레의 길이 = 4 pi * 반지름의 길이" 이 되는 것은 아닙니다.
원 둘레와 반지름 사이를 연결하는 상수인 2 pi 는 반지름의 길이에 관계 없는 상수입니다.
아직 pi 의 정확한 값은 모르지만 pi가 반지름에 따라 변하지 않는 다는 것은 확실합니다.
똑 같은 이야기를 계속 반복하는 것은 저의 뜻을 확실히 하기 위해서입니다.
그럼 이제 호도법을 설명하겠습니다.
'호의 길이가 중심각에 비례한다'는 사실 만을 이용할 것입니다.
반지름이 1인 원을 생각해 봅시다.(계속 반지름이 1인 원 만을 생각할 것입니다.)
원의 둘레는 2 pi 입니다.
(pi는 그냥 상수이고 구체적인 값은 모릅니다. 이렇게 해도 논리를 전개하는 데는 문제가 없습니다.)
호의 길이와 중심각이 비례하므로
호의 길이 = (어떤 비례 상수) * 중심각
위의 등식을 만족하게 됩니다.
각도의 단위를 어떤 단위를 쓰느냐에 따라 비례상수가 달라질 텐데.
저는 (어떤 비례 상수) = 1 이 되는 각도 단위를 사용할 것입니다.
이것이 계산이 편하기 때문이죠.
그 각도의 단위는 '호도법'이라고 이름이 붙여져 있습니다.
(사실, "(어떤 비례상수) = 반지름" 이 됩니다. 하지만 지금은 반지름 = 1 인 특별한 경우를 다루므로 그냥 1 이라고 하겠습니다.)
그래서
원의 한바퀴(우리에게 익숙한 표현으로 360도) = 2 pi (단위는 radian)
라는 관계식을 만족하는 새로운 각도의 단위를 사용합니다.
아직까지 pi 의 값이 얼마인지는 모르지만 논리상으로 문제 될 것은 없습니다.
위의 식을 정리하면
180도 = pi (radian)
이라는 관계식을 얻으며 흔히
180도 = pi
이렇게 씁니다.
위 식으로 부터
90도 = pi/2, 45도 = pi/4, 30도 = pi/6, 1도 = pi/180 등등을 얻습니다.
그래서 sin(pi/2) = 1, sin(pi/4) = 1/sqrt(2), sin(pi/6) = 1/2 등등을 얻습니다.
또한 tan(pi/4) = 1, tan(pi/6) = 1/sqrt(3) 등등을 얻습니다.
그리고 x 가 0 으로 갈 때 (sin x )/x 의 극한 값이 1 이라는 사실은
고등학교 수학 교과서나 정석에 증명이 나와 있습니다.
증명을 보시면 알겠지만...
호도법을 이용할 때 "pi 가 상수"라는 사실만을 이용합니다.
그 값이 구체적으로 얼마인지는 몰라도 증명은 됩니다.
pi 가 어떤 값을 갖는지는 알 수 없지만,
pi(원주율) 가 반지름에 무관한 비례상수라는 사실 만으로 지금까지 논리를 펴 왔습니다.
이제 넓이로 가서,
모든 원은 닮은 도형이기 때문에
원의 넓이 = (적당한 비례상수) * 반지름^2 의 형태를 띄게 됩니다.
반지름이 1인 원일 경우 "원의 넓이 = (적당한 비례상수)"가 되죠.
이제 우리는 "적당한 비례상수 = pi"라는 사실을 보이면 됩니다.
대략적인 내용은 초등학교나 중학교 교과서에 나와 있지만...
구체적인 방법으로는 반지름이 1인 원에 내접하는 정 n 각형의 넓이를 구하고
그 극한 값을 이용해서 원의 넓이를 구하면 됩니다.
(각도는 호도법을 이용합니다.)
그렇게 구하면 "적당한 비례상수 = pi" 라는 사실을 알 수 있을 것입니다.
아직까지도 pi 가 얼마인지 구체적으로 구하지는 않았습니다.
그래도 "모든 원이 닮은 도형이다"라는 사실 하나만으로 적당한 비례상수를 도입(아직 구체적인 값은 모르지만 ㅡ.ㅡ;)하여
원주 = 2 pi r
넓이 = pi r^2
이라는 사실을 얻었습니다.
그럼 이제 남은 일은 pi가 얼마인지를 구하는 것이지요?
미적분학 책을 보면
arctan x = x - (1/3) x^3 + (1/5) x^5 - (1/7) x^7 + ...
라는 사실을 알 수 있을 것입니다.
(길어서 증명은 생략합니다.)
tan(pi/4) = 1 이므로
arctan(1) = pi/4 가 됩니다.
따라서 pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .... 가 됩니다.
이렇게 해서 pi 를 구할 수 있습니다.
이 방법의 단점은 위 급수의 수렴이 늦다는 사실입니다.
10,000 항까지 계산해 보았자 3.14159 도 얻지 못하니까요.
그래서 수렴을 빨리 하기 위해서
pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) 등등을 이용합니다.
이것 말고도 여러가지 공식이 있는데 제가 모두 기억하지 못하는 관계로 이렇게만 적겠습니다.
pi 를 계산해 보면
pi = 3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 .... 을 얻습니다.
우선 정사각형 이야기 먼저 하죠.
모든 정사각형은 닮은 도형입니다.
그래서 둘레의 길이는 정사각형의 한변의 길이에 비례합니다.
우리는 그 비례상수가 4 라는 것을 알고 있습니다.
즉, 정사각형의 둘레의 길이 = 4 * 정사각형의 한변의 길이
하지만 이렇게 해도 큰 문제는 없죠.
정사각형의 둘레의 길이 = 2 sqrt(2) * 정사각형의 대각선의 길이
sqrt(2) 는 "루트 2" 를 뜻합니다.
마찬가지로 모든 원은 닮았습니다.
그래서 원의 둘레의 길이는 반지름의 길이에 비례합니다.
(이 부분은 인정 하시죠?)
우리는 그 비례상수가 2 * pi 라는 것을 알고 있습니다.
즉, 원의 둘레의 길이 = 2 pi * 반지름의 길이
하지만 이렇게 해도 큰 문제는 없죠.
원의 둘레의 길이 = pi * 지름의 길이
지금 여기서 강조하고 싶은 사실은 pi(원주율) 라는 상수가 어떤 값인지 아직 모릅니다.
실험에 의해서 대충 3.14 정도 된다는 것은 알 수 있겠지만 정확한 값은 아직 모릅니다.
어떤 값인지는 알 수 없지만 "원 둘레와 반지름 사이의 비례상수"라는 것은 정확히 말하고 싶군요.
이 값을 구하는 것은 뒤에 하겠습니다.
앞으로 pi 라는 상수를 계속 사용하겠지만 그 상수의 값은 뒤에 구하기 전 까지는 정확한 값을 모릅니다.
그렇지만 그 상수가 얼마인지는 모르더라도 논리를 전개하는데는 문제가 없습니다.
이 부분에서 강조하고 싶은 것은 "2 pi 는 원 둘레와 반지름 사이를 연결하는 비례상수" 입니다.
원 둘레의 길이 = 2pi * 반지름의 길이.
반지름이 늘어나거나 줄어들다고 해서 위의 식이
"원 둘레의 길이 = 3 pi * 반지름의 길이" 이나
"원 둘레의 길이 = 4 pi * 반지름의 길이" 이 되는 것은 아닙니다.
원 둘레와 반지름 사이를 연결하는 상수인 2 pi 는 반지름의 길이에 관계 없는 상수입니다.
아직 pi 의 정확한 값은 모르지만 pi가 반지름에 따라 변하지 않는 다는 것은 확실합니다.
똑 같은 이야기를 계속 반복하는 것은 저의 뜻을 확실히 하기 위해서입니다.
그럼 이제 호도법을 설명하겠습니다.
'호의 길이가 중심각에 비례한다'는 사실 만을 이용할 것입니다.
반지름이 1인 원을 생각해 봅시다.(계속 반지름이 1인 원 만을 생각할 것입니다.)
원의 둘레는 2 pi 입니다.
(pi는 그냥 상수이고 구체적인 값은 모릅니다. 이렇게 해도 논리를 전개하는 데는 문제가 없습니다.)
호의 길이와 중심각이 비례하므로
호의 길이 = (어떤 비례 상수) * 중심각
위의 등식을 만족하게 됩니다.
각도의 단위를 어떤 단위를 쓰느냐에 따라 비례상수가 달라질 텐데.
저는 (어떤 비례 상수) = 1 이 되는 각도 단위를 사용할 것입니다.
이것이 계산이 편하기 때문이죠.
그 각도의 단위는 '호도법'이라고 이름이 붙여져 있습니다.
(사실, "(어떤 비례상수) = 반지름" 이 됩니다. 하지만 지금은 반지름 = 1 인 특별한 경우를 다루므로 그냥 1 이라고 하겠습니다.)
그래서
원의 한바퀴(우리에게 익숙한 표현으로 360도) = 2 pi (단위는 radian)
라는 관계식을 만족하는 새로운 각도의 단위를 사용합니다.
아직까지 pi 의 값이 얼마인지는 모르지만 논리상으로 문제 될 것은 없습니다.
위의 식을 정리하면
180도 = pi (radian)
이라는 관계식을 얻으며 흔히
180도 = pi
이렇게 씁니다.
위 식으로 부터
90도 = pi/2, 45도 = pi/4, 30도 = pi/6, 1도 = pi/180 등등을 얻습니다.
그래서 sin(pi/2) = 1, sin(pi/4) = 1/sqrt(2), sin(pi/6) = 1/2 등등을 얻습니다.
또한 tan(pi/4) = 1, tan(pi/6) = 1/sqrt(3) 등등을 얻습니다.
그리고 x 가 0 으로 갈 때 (sin x )/x 의 극한 값이 1 이라는 사실은
고등학교 수학 교과서나 정석에 증명이 나와 있습니다.
증명을 보시면 알겠지만...
호도법을 이용할 때 "pi 가 상수"라는 사실만을 이용합니다.
그 값이 구체적으로 얼마인지는 몰라도 증명은 됩니다.
pi 가 어떤 값을 갖는지는 알 수 없지만,
pi(원주율) 가 반지름에 무관한 비례상수라는 사실 만으로 지금까지 논리를 펴 왔습니다.
이제 넓이로 가서,
모든 원은 닮은 도형이기 때문에
원의 넓이 = (적당한 비례상수) * 반지름^2 의 형태를 띄게 됩니다.
반지름이 1인 원일 경우 "원의 넓이 = (적당한 비례상수)"가 되죠.
이제 우리는 "적당한 비례상수 = pi"라는 사실을 보이면 됩니다.
대략적인 내용은 초등학교나 중학교 교과서에 나와 있지만...
구체적인 방법으로는 반지름이 1인 원에 내접하는 정 n 각형의 넓이를 구하고
그 극한 값을 이용해서 원의 넓이를 구하면 됩니다.
(각도는 호도법을 이용합니다.)
그렇게 구하면 "적당한 비례상수 = pi" 라는 사실을 알 수 있을 것입니다.
아직까지도 pi 가 얼마인지 구체적으로 구하지는 않았습니다.
그래도 "모든 원이 닮은 도형이다"라는 사실 하나만으로 적당한 비례상수를 도입(아직 구체적인 값은 모르지만 ㅡ.ㅡ;)하여
원주 = 2 pi r
넓이 = pi r^2
이라는 사실을 얻었습니다.
그럼 이제 남은 일은 pi가 얼마인지를 구하는 것이지요?
미적분학 책을 보면
arctan x = x - (1/3) x^3 + (1/5) x^5 - (1/7) x^7 + ...
라는 사실을 알 수 있을 것입니다.
(길어서 증명은 생략합니다.)
tan(pi/4) = 1 이므로
arctan(1) = pi/4 가 됩니다.
따라서 pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + .... 가 됩니다.
이렇게 해서 pi 를 구할 수 있습니다.
이 방법의 단점은 위 급수의 수렴이 늦다는 사실입니다.
10,000 항까지 계산해 보았자 3.14159 도 얻지 못하니까요.
그래서 수렴을 빨리 하기 위해서
pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) 등등을 이용합니다.
이것 말고도 여러가지 공식이 있는데 제가 모두 기억하지 못하는 관계로 이렇게만 적겠습니다.
pi 를 계산해 보면
pi = 3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 .... 을 얻습니다.
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