넓이 최대값구하는 문제!!

[오늘은모하나]

x^2+4y^2=1 에 내접하는 삼각형 넓이의 최대값은?(힌트: 정사영이용)

아무리봐도 모르겠네요.. 힌트라도.부탁드립니다

[답인가..?]

저 타원을 잘 기울이면 x^2+y^2=1 의 그림자를 갖도록 할 수 있습니다. 넓이는 반으로 줄고요. 원래 타원에 내접하는 삼각형의 넓이가 최대였다면 그림자의 넓이도 최대가 될 것입니다. 그런데 원에 내접하는 최대넓이의 삼각형은 정삼각형이고, 그 넓이를 두 배 하면 답이 나옵니다. 제 계산으로는 3√3/2 이 나오네요.

[오늘은모하나]

근데 고정된 원에 내접하는 삼각형중 정삼각형이 최대값을 갖는다는걸 어떻게 증명하죠?

[답인가..?]

여러가지 방법이 있겠지만, 밑변이 되는 한 현을 고정하면 이등변삼각형이 가장 넓이가 큰 것은 자명하겠죠. 이제 밑변의 길이를 a라고 하면, 그 이등변삼각형의 높이는 a에 의해서 정해질 것이고, 이 넓이의 최대값을 0<a≤지름 의 범위에서 찾으면 되겠죠.