envelope 라는 것은 에워싼다는 뜻을 가진 단어입니다.
(x-a)^2 + y^2 =4
라는 방정식을 봅시다.
(a,0) 를 중심에 둔 원의 방정식입니다. a 가 약간씩 다른 원을 무수히 많이 그려보면
y =±2 를 만족하는 직선이 무수히 많은 원을 에워싸고 있음을 알 수 있습니다.
그래서 y =±2 는 (x-a)^2 + y^2 =4 의 포락선으로 불립니다.
F(x,y,a) = (x-a)^2 + y^2 - 4 = 0
으로 두면 F(x,y,a) 는 항상 0 을 만족해야하므로 x,y,a 의 미소변동에 대해 변함없이 0 이 되어야 합니다. 즉
dF = (∂F/ ∂x)dx + (∂F/ ∂y)dy +(∂F/ ∂a)da = 0 ...ⓐ
그런데 포락선은 F(x,y,a) = 0 에 대해 접합니다. 즉 ∇F 는 포락선의 미소변위 (dx,dy) 에 대해 항상 수직이어야 하지요.
여기서 ∇F ≠ (∂F/ ∂x , ∂F/ ∂y , ∂F/ ∂a ) 오히려
∇F = ( ∂F/ ∂x , ∂F/ ∂y ) , why? a 가 일정한 어떤 F(x,y,a) = 0 에 대해 접하므로.
즉 포락선에선 (∂F/ ∂x)dx + (∂F/ ∂y)dy = 0 이란 조건이 붙습니다. 그니까 ⓐ 에서 dF 가 0 이되려면
당근 ∂F/ ∂a= 0 이면 되지요.
그래서 F(x,y,a) = 0 을 만족하는 어떤 곡선군의 포락선을 구하기 위해선 ∂F/ ∂a= 0 라는 조건
이 하나 더 붙어 F(x,y,a) = 0 라는 조건과 연립해서 구하게 됩니다.
설명이 매끄럽지 못하네요. 죄송.
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