Re:다음이 발산 함을 보여라 (비교판정을 이용한 풀이~ 제 2 탄~ )

[생쥐~]

p_n이 n번째 소수라고 하고, log n이 자연로그라고 할 때에,
p_n ~ n log n 입니다.
따라서 1/p_n ~ 1/(n log n) 입니다.
따라서 비교판정법에 의하여
∑{n = 3 -> oo}{ 1/p_n} 와 ∑{n = 3 -> oo}{1/(n log n)} 는 수렴발산 여부가 같습니다.
그런데 ∑{n = 3 -> oo}{1/(n log n)}는 발산합니다. (<- 이걸 증명하는 건 썩 머리아픈 해석학 문제 중 하나라는.. 해석학 책에 곧잘 연습문제로 등장하고는 하죠. 이 증명은 기억이 안나서 생략.)
따라서 ∑{n = 3 -> oo}{ 1/p_n} 도 발산합니다. 증명 끝.

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p_n ~ n log n 에 대한 배경설명:

양의 수열 a_n과 b_n이 lim{n -> oo} a_n/b_n = 1 을 만족할 때,
a_n ~ b_n 이라고 표기합니다. 이것의 직관적인 의미는 a_n과 b_n은 그 값이 n이 클 때에는 비슷비슷하다라는 의미이지요.
p_n ~ n log n 에서 n log n은 p_n에 대한 잘 알려진 근사공식입니다. 좀더 복잡하고 정확한 근사공식은
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html 에서 찾아보실 수 있고..
n log n이 가장 간단한 공식..

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