현재 "Discrets mathematics and it'sapplication"한글판을 교재로 공부하고 있는 대학생입니다.
거기서 함수단원에서 3문제가 아리송해서 글을 올립니다.에매한 표현이나 오타가 있더라도 해바랍니다.
문1)정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수 f(x) = x2 은 전사 함수인가?
이문제의 답은 x^2=-1을 만드는 정수가 존재하지 않으므로 함수 f는 전사 함수가 아니다.
여기서 이걸 그래프로 교수님이 그리던데 통이해가 않가더군요.그것도 그렇고 어떻게 해서 그런답이 나오는 지도 모르겠구요.답변부탁드립니다.
문2)함수 f가 정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수이고 f(x)=x+1이다.f는 가역 함수인가? 가역 함수라면 그 역함수는 무엇인가?
이문제 교수님이 f^-1(y)=y-1이라는 답을 써주시던데
답은 f는 전다사 함수이므로 가역함수이다. 그 역함수는 y가 x의 상이라고 하면 y=x+1이므로 x=y-1이 된다. 따라서 f^-1(y) = y-1이다.어떻게 해서 이런답이 나오는지 통이해가 않되네요.
문3)f와 g가 정수 집합으로부터 정수집합으로의 함수이고 f(x)=2X+3, g(x)=3x+2이다. 합성 함수
f ° g, g ° f는 각각 무엇인가?
(f ° g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7이고
(g ° f)(x) =g(f(x)) = g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11이다.
여기서 (f ° g)는 합성함수라고 해서 뒤에서부터 계산을 하잖아요?
예를 들면 (f ° g)(a) = f(g(a)) (?이건 결합법칙인가?)
이렇게요.근데 위문제에서 2(3x+2)+3는 우째서 이렇게 되는 겁니까?공식대로 하면
(f ° g)(x) = f(g(x)) = =(2x+3)(3x+2)=6x+6이 되어야 되는거 아닌가요?
어떻게 해서 그런답이 나온거죠?
<참고사항>
*전사함수:정의역 A,공역 B가 있을때, b B인 모든 원소에 대하여 f(a)=b인 원소 a A가 존재할 경우 f를 전사함수(onto 또는 surjective function이라고한다.)
*단사함수:f의 정의역에 속한 모든 x와 y에 있어서 f(x) = f(y)이면 반드시 x=y일때, 함수 f를 단사 함수(one-to-one 또는 in-jective function)라고 한다.
*합성함수:g가 집합 A로 부터 집합 B로의 함수이고 f가 집합 B로부터 C로의 함수라고 하자.함수 f와 g의 합성 함수는 f ° g로 표기하고 다음과 같이 정의된다.
(f ° g)(a) = f(g(a))
거기서 함수단원에서 3문제가 아리송해서 글을 올립니다.에매한 표현이나 오타가 있더라도 해바랍니다.
문1)정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수 f(x) = x2 은 전사 함수인가?
이문제의 답은 x^2=-1을 만드는 정수가 존재하지 않으므로 함수 f는 전사 함수가 아니다.
여기서 이걸 그래프로 교수님이 그리던데 통이해가 않가더군요.그것도 그렇고 어떻게 해서 그런답이 나오는 지도 모르겠구요.답변부탁드립니다.
문2)함수 f가 정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수이고 f(x)=x+1이다.f는 가역 함수인가? 가역 함수라면 그 역함수는 무엇인가?
이문제 교수님이 f^-1(y)=y-1이라는 답을 써주시던데
답은 f는 전다사 함수이므로 가역함수이다. 그 역함수는 y가 x의 상이라고 하면 y=x+1이므로 x=y-1이 된다. 따라서 f^-1(y) = y-1이다.어떻게 해서 이런답이 나오는지 통이해가 않되네요.
문3)f와 g가 정수 집합으로부터 정수집합으로의 함수이고 f(x)=2X+3, g(x)=3x+2이다. 합성 함수
f ° g, g ° f는 각각 무엇인가?
(f ° g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7이고
(g ° f)(x) =g(f(x)) = g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11이다.
여기서 (f ° g)는 합성함수라고 해서 뒤에서부터 계산을 하잖아요?
예를 들면 (f ° g)(a) = f(g(a)) (?이건 결합법칙인가?)
이렇게요.근데 위문제에서 2(3x+2)+3는 우째서 이렇게 되는 겁니까?공식대로 하면
(f ° g)(x) = f(g(x)) = =(2x+3)(3x+2)=6x+6이 되어야 되는거 아닌가요?
어떻게 해서 그런답이 나온거죠?
<참고사항>
*전사함수:정의역 A,공역 B가 있을때, b B인 모든 원소에 대하여 f(a)=b인 원소 a A가 존재할 경우 f를 전사함수(onto 또는 surjective function이라고한다.)
*단사함수:f의 정의역에 속한 모든 x와 y에 있어서 f(x) = f(y)이면 반드시 x=y일때, 함수 f를 단사 함수(one-to-one 또는 in-jective function)라고 한다.
*합성함수:g가 집합 A로 부터 집합 B로의 함수이고 f가 집합 B로부터 C로의 함수라고 하자.함수 f와 g의 합성 함수는 f ° g로 표기하고 다음과 같이 정의된다.
(f ° g)(a) = f(g(a))
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댓글
댓글 리스트-
작성자math-mania 작성시간 05.04.01 문1)전사라면 공역의 임의의 원소에 대한 원상이 있어야 합니다...그러나 님이 말씀하신대로 -1의 원상은 존재하지 않죠? 즉, 제곱해서 -1이 되는 원소가 정의역(정수)에는 없으므로 전사가 아닙니다.
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작성자math-mania 작성시간 05.04.01 문2)고등학교 때도 배우죠...어떤 함수f의 역함수가 존재할 필충조건은 f가 1-1대응(전단사)함수라고요...f(x)=x+1은 전단사함수라는 것을 쉽게 증명 할 수 있죠? 역함수 구하는 법은 고등학교 때 했다시피 x,y바꾸고 식을 y에 대해 정리하면 됩니다....다만 그때 정의역은 원래 함수의 치역이고, 치역은 원래 함수의 정의
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작성자math-mania 작성시간 05.04.01 역이 되겠죠..어차피 전사이므로 치역이아니라 공역이어도 상관없습니다.... 님 f(x)=x-1 이나 f(y)=y-1 이나 아님 f(말)=말-1 이나 똑같은 함수(정의역과 공역이 같다면)라는거 이해하시죠? 매개변수는 그냥 매개변수 일뿐 아무런 의미가 없습니다...그 매개변수가 어디의 원소인지가 중요한겁니다..
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작성자math-mania 작성시간 05.04.01 문3)님 수학관가요? 너무 심하군요....특히 공식이라는 말에서 답변할 의미를 잃어버린다는....정석책보세요...거기 다 나오는 내용입니다.....노력하신다음 안되면 질문하세요....이런건 고등학교 교재보면 다 나오고 또 쉽게 이해할 수 있는 겁니다....그럼 열심히 공부하세요....