Q) A function f:[0,1]->R is Lipschitz continuous if there is a constant L such that |f(x)-f(y)|<=L|x-y| for all x,y in [0,1]. Prove that the set of Lipschitz continuous functions is a dense subset of C([0,1], R).
C([0,1],R) = { f:[0,1]->R | f is a continuous and bounded function on [0,1] }.
함수가 Lipschitz continuous하면 uniformly continuous on [0,1] 한건 알겠는데, Lipschitz continuous한 함수의 집합이 dense subset of C([0,1],R)인걸 증명하는건 어렵네요.
도와주세요.
C([0,1],R) = { f:[0,1]->R | f is a continuous and bounded function on [0,1] }.
함수가 Lipschitz continuous하면 uniformly continuous on [0,1] 한건 알겠는데, Lipschitz continuous한 함수의 집합이 dense subset of C([0,1],R)인걸 증명하는건 어렵네요.
도와주세요.
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댓글
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작성자답인가..? 작성시간 05.04.07 사실 C^∞[0,1] (=smooth functions from [0,1] to R) 이 C[0,1] 에서 dense 합니다. approximate identity 라는 것을 참고해 보시길. 그리고 일계도함수만 연속이더라도 평균값의 정리에 의해서 Lipschitz continuous 합니다.
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작성자plznomap 작성시간 05.04.08 같은 설명일지 모르는데.. 텍스트에서 기본적으로 다항함수가 C([0,1], R)에서 덴스하다는것을 자세하게 설명하지 않나요? 어쨌든..다항함수가 립취츠컨디션을 만족한다는것을 보이면 충분하겠네요... 증명은 평균값 정리를 쓰면 금방해낼수 있을겁니다.