아하~ 실무한에 대한 개념이 아직 싹트지 않았군요.
님과 같은 현상은 아주 정상적인 것입니다.
사실 무한이라는 것이 명확히 정의된 것도 그리 오래된 일이 아니거든요.
님에게 하고 싶은 가장 중요한 충고 한 마디는요.
" 이렇게 이제껏 알고 있던 방식으로는 이해가 가지 않는 수를 무한이라고 한다! " 입니다.
수많은 수학 천재들이 무한(무한대, 무한소 : 이 용어 아직은 신경쓰지 마세요. 후에 정확히 알았을 때 "이런 단어 들어봤다" 하라고 적어두는 거에요.)에 대한 명확한 이해가 서지 않았었습니다.
이제껏 님이 알고 있는 수들은 "전체가 부분보다 큰" 수들 뿐이었을 겁니다. 그렇죠?
제 아무리 큰 숫자라도 거기에서 1을 빼면 그 숫자보다는 작습니다.
그런 숫자들을 "유한"이라고 하는 반면에...
전체가 그 부분과 같을 수도 있는 수를 "무한"이라고 생각하시면 돼요.
가무한이라는 것은(아직 정확히 정의된 용어는 아니지만) 보통 잠재적 무한이라고 부릅니다.
우리가 흔히 생각하는 무한이죠. 하여튼 엄청 크다... 또는 엄청 작다(그렇다고 0은 아니다).
여기까지는 이해하기 쉽게 일상 언어로 말했습니다.
이제부터 수학적인 비유를 통해서 무한을 대하는 태도를 제시해 드릴 거구요. 그 다음엔 진짜 실무한에 대한 것을 적어 드리지요.
혹시 이해 안 가셔도 너무 걱정 마세요. 사람들이 하늘을 나는 개를 처음 본다면 의아해할 겁니다.
"날개도 없는데 어떻게 날지?"
그거랑 똑같은 거에요. 자주 보다 보면 새로운 것에 대해서 사고하기도 수월하고 논리로(머릿속으로) 만들어낸 것에 대해서 직관도 생깁니다.
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님 복소수 배우셨죠?
처음에 복소수를 사람들은 쓸모없는 수라고 했다고 합니다. 복소수 뿐만 아니라 음수도 마찬가지였다고 합니다.
이 세상에 없는 것보다 작은 것 (음수)는 없다고 생각했던 거죠.
그래 음수는 그렇다고 칩시다. 제곱해서 음수가 나오는 수??????????????
이런 건 없습니다. 적어도 이 세상엔 말입니다.
그러나 그것을 이용하면 너무도 많은 현상을 아주 simple하게 설명할 수 있기에 그것을 서서히 받아들이게 된 것입니다.
무한도 마찬가지입니다. 전에 알던 수들은 그것보다 1 작은 수는 분명 원래 수보다 작았는데...
이런!!!! 어떤 것의 개수는 1 작은 수와 원래 수와 같다고밖에 말할 수 없는 상황을 발견한 것입니다.
물론 세상엔 끝이 없다는 건 존재할 수 없지만...(최소한 지구상에서는) 그런 것이 있다라고 하자는 겁니다. 복소수처럼요.
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이젠 정말 수학적으로 얘기해봅시다.
물론 대학교 과정에서 배우는 내용이지만 중학생도 이해할 수 있는 내용이에요.
돼지 5 마리가 있다고 합시다. 돼지가 5마리인지 어떻게 알지요?
당근 배워서 아는 거지요.
그런데 여기서 좀더 세밀하게 관찰합시다.
돼지가 5마리 있다는 것은 돼지 한 마리마다 우리의 손가락을 하나씩 하나씩 짝을 지어 보니까 한 손에 있는 모든 손가락이 굽어져있더라는 것이죠.
돼지 뿐만이 아닙니다.
담배가(교육적으로 좋지 않나?;;;;) 5가치 있다는 것 또한 담배 한 가치에 손가락 하나 하나 짝을 지어 보니 역시 한 손에 있는 모든 손가락이 굽어져 있다는 것입니다.
이제 눈치 채셨죠? 어떤 것과 또 다른 것의 개수가 같다는 것은 그 둘 사이에 "일대일 대응"을 시킬 수 있으면 개수가 같다고 하는 것입니다.(이것을 수학에서는 대등하다고 합니다.)
---------------------------------※ 참고 ※---------------------------------
[개수가 같다는 것의 정의]
집합 A와 집합 B의 기수(개수)가 같다는 것은 f:A->B 인 전단사함수
(즉, A에서 B로의 일대일 대응) f가 존재하는 것이다.
그리고 이 사실을 "A와 B는 대등하다"고 하며, A~B로 나타낸다.
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납득 가시죠?(참고 부분은 전공에서 다루는 수학적인 정의이므로 명확히 이해하지 못하셔도 관계 없습니다. 주의하셔야 할 것은 일대일 대응을 딱 하나만 잡을 수 있어도 둘은 개수가 같다는 뜻임을 일러둡니다.)
자 이제부터 아주 흥미로운 사실을 공부하게 될텐데요.
바로 "자연수의 개수는 무한이다."를 증명하는 것입니다.
그러면 "무한"이란 것이 무엇인지부터 알아야겠죠.
아까도 언급했듯이 자기 자신과 부분과 개수가 같을 수 있으면 되는 것입니다.
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자연수의 집합을 N이라 하고,
자연수 중 짝수들을 모두 모아놓은 집합을 M이라 하자.
그러면 분명히 N⊃M이다. (즉 M은 N의 부분이다.)
이제 N에서 M으로의 다음 함수 f:N->M를 살펴보자.
모든 자연수 n에 대해서 f(n)=2n
그러면 f는 N에서 M으로의 일대일 대응이다.
(일대일 대응에 대한 증명은 님 수준상 생략하고... 직관적으로 살펴보세요.)
공역 M의 모든 원소가 대응이 되며, 그 대응은 오직 한 개씩만 되죠.
따라서 자연수 전체의 집합은 그것의 부분인 짝수 전체의 집합과 개수가 같다.
결국 자연수는 무한개이다.
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글이 너무 길어져서 전공 수학에 대한 내용은 이정도만 소개하구요.
관심 있으시면...선생님 찾아가서 물어보세요. 앞으로 수학 전공하고 싶다고...(혹시 아니라고 해도 그렇다고 해야 해요 ㅋㅋㅋ)
그러면 선생님들도 모두들 수학을 전공하셨으니 그런 기초적인 내용은 가르쳐주시리라 믿습니다.
님이 지금 관심 갖는 무한을 더 공부하면 신기한 결론들에 다다르게 됩니다.
님의 관심사에 근접한 대표적인 세 가지 사실만 남길게요.
"자연수의 개수와 유리수의 개수는 같다"
"실수의 개수는 유리수의 개수보다 많다"
"무리수의 개수는 유리수의 개수보다 많다"
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힐베르트의 여관
여관의 방이 무한개라면... 꽉 차있어도 손님이 더 들어갈 수 있지요.
방을 하나씩 번호붙입시다.
1번방, 2번방, 3번방, ... 끝없이
그런 다음 손님이 오면 1번방 손님은 2번방에, 2번방 손님은 3번방에, ....
그러면 1번방이 남으니 손님을 받으면 되는 겁니다.
이것을 수학적으로 표현하면 이렇습니다.
자연수의 집합 N이라 하고, 자연수중 1을 뺀 나머지 자연수들의 집합을 K라 할 때,
다음 함수 f:N->K 는 일대일 대응함수이다.
f(n) = n+1
그러니까 이 수식을 상황에 접목시키면...
"새 손님 한 분이 오기 전에 여관을 가득 채웠던 손님들의 수는 여관 전체 방의 수보다 1 작은 수와 같다."
아리송하죠?
이것이 무한입니다.
무한에 대한 명확한 정의를 내리고 연구하다가 결국 미쳐서 죽은 수학자가 있습니다. Cantor(우리나라에선 칸토어 또는 칸토르라고 부릅니다)가 그 사람입니다.
님이 헷갈리는 것처럼 이 사람도 논리적으론 자연수와 유리수의 개수가 같은데... 도저히 마음으론 이해가 안 갔던 거죠.
그리고 자신의 스승(크로네커라고 대수학에 큰 공헌을 한 수학자)은 칸토어의 주장이 틀리다고 면박을 주곤했다고 합니다.
그러니 미칠 수밖에요. ㅠㅠ
님 앞으로도 수학에 지속적으로 관심 가져주세요~!
님과 같은 현상은 아주 정상적인 것입니다.
사실 무한이라는 것이 명확히 정의된 것도 그리 오래된 일이 아니거든요.
님에게 하고 싶은 가장 중요한 충고 한 마디는요.
" 이렇게 이제껏 알고 있던 방식으로는 이해가 가지 않는 수를 무한이라고 한다! " 입니다.
수많은 수학 천재들이 무한(무한대, 무한소 : 이 용어 아직은 신경쓰지 마세요. 후에 정확히 알았을 때 "이런 단어 들어봤다" 하라고 적어두는 거에요.)에 대한 명확한 이해가 서지 않았었습니다.
이제껏 님이 알고 있는 수들은 "전체가 부분보다 큰" 수들 뿐이었을 겁니다. 그렇죠?
제 아무리 큰 숫자라도 거기에서 1을 빼면 그 숫자보다는 작습니다.
그런 숫자들을 "유한"이라고 하는 반면에...
전체가 그 부분과 같을 수도 있는 수를 "무한"이라고 생각하시면 돼요.
가무한이라는 것은(아직 정확히 정의된 용어는 아니지만) 보통 잠재적 무한이라고 부릅니다.
우리가 흔히 생각하는 무한이죠. 하여튼 엄청 크다... 또는 엄청 작다(그렇다고 0은 아니다).
여기까지는 이해하기 쉽게 일상 언어로 말했습니다.
이제부터 수학적인 비유를 통해서 무한을 대하는 태도를 제시해 드릴 거구요. 그 다음엔 진짜 실무한에 대한 것을 적어 드리지요.
혹시 이해 안 가셔도 너무 걱정 마세요. 사람들이 하늘을 나는 개를 처음 본다면 의아해할 겁니다.
"날개도 없는데 어떻게 날지?"
그거랑 똑같은 거에요. 자주 보다 보면 새로운 것에 대해서 사고하기도 수월하고 논리로(머릿속으로) 만들어낸 것에 대해서 직관도 생깁니다.
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님 복소수 배우셨죠?
처음에 복소수를 사람들은 쓸모없는 수라고 했다고 합니다. 복소수 뿐만 아니라 음수도 마찬가지였다고 합니다.
이 세상에 없는 것보다 작은 것 (음수)는 없다고 생각했던 거죠.
그래 음수는 그렇다고 칩시다. 제곱해서 음수가 나오는 수??????????????
이런 건 없습니다. 적어도 이 세상엔 말입니다.
그러나 그것을 이용하면 너무도 많은 현상을 아주 simple하게 설명할 수 있기에 그것을 서서히 받아들이게 된 것입니다.
무한도 마찬가지입니다. 전에 알던 수들은 그것보다 1 작은 수는 분명 원래 수보다 작았는데...
이런!!!! 어떤 것의 개수는 1 작은 수와 원래 수와 같다고밖에 말할 수 없는 상황을 발견한 것입니다.
물론 세상엔 끝이 없다는 건 존재할 수 없지만...(최소한 지구상에서는) 그런 것이 있다라고 하자는 겁니다. 복소수처럼요.
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이젠 정말 수학적으로 얘기해봅시다.
물론 대학교 과정에서 배우는 내용이지만 중학생도 이해할 수 있는 내용이에요.
돼지 5 마리가 있다고 합시다. 돼지가 5마리인지 어떻게 알지요?
당근 배워서 아는 거지요.
그런데 여기서 좀더 세밀하게 관찰합시다.
돼지가 5마리 있다는 것은 돼지 한 마리마다 우리의 손가락을 하나씩 하나씩 짝을 지어 보니까 한 손에 있는 모든 손가락이 굽어져있더라는 것이죠.
돼지 뿐만이 아닙니다.
담배가(교육적으로 좋지 않나?;;;;) 5가치 있다는 것 또한 담배 한 가치에 손가락 하나 하나 짝을 지어 보니 역시 한 손에 있는 모든 손가락이 굽어져 있다는 것입니다.
이제 눈치 채셨죠? 어떤 것과 또 다른 것의 개수가 같다는 것은 그 둘 사이에 "일대일 대응"을 시킬 수 있으면 개수가 같다고 하는 것입니다.(이것을 수학에서는 대등하다고 합니다.)
---------------------------------※ 참고 ※---------------------------------
[개수가 같다는 것의 정의]
집합 A와 집합 B의 기수(개수)가 같다는 것은 f:A->B 인 전단사함수
(즉, A에서 B로의 일대일 대응) f가 존재하는 것이다.
그리고 이 사실을 "A와 B는 대등하다"고 하며, A~B로 나타낸다.
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납득 가시죠?(참고 부분은 전공에서 다루는 수학적인 정의이므로 명확히 이해하지 못하셔도 관계 없습니다. 주의하셔야 할 것은 일대일 대응을 딱 하나만 잡을 수 있어도 둘은 개수가 같다는 뜻임을 일러둡니다.)
자 이제부터 아주 흥미로운 사실을 공부하게 될텐데요.
바로 "자연수의 개수는 무한이다."를 증명하는 것입니다.
그러면 "무한"이란 것이 무엇인지부터 알아야겠죠.
아까도 언급했듯이 자기 자신과 부분과 개수가 같을 수 있으면 되는 것입니다.
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자연수의 집합을 N이라 하고,
자연수 중 짝수들을 모두 모아놓은 집합을 M이라 하자.
그러면 분명히 N⊃M이다. (즉 M은 N의 부분이다.)
이제 N에서 M으로의 다음 함수 f:N->M를 살펴보자.
모든 자연수 n에 대해서 f(n)=2n
그러면 f는 N에서 M으로의 일대일 대응이다.
(일대일 대응에 대한 증명은 님 수준상 생략하고... 직관적으로 살펴보세요.)
공역 M의 모든 원소가 대응이 되며, 그 대응은 오직 한 개씩만 되죠.
따라서 자연수 전체의 집합은 그것의 부분인 짝수 전체의 집합과 개수가 같다.
결국 자연수는 무한개이다.
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글이 너무 길어져서 전공 수학에 대한 내용은 이정도만 소개하구요.
관심 있으시면...선생님 찾아가서 물어보세요. 앞으로 수학 전공하고 싶다고...(혹시 아니라고 해도 그렇다고 해야 해요 ㅋㅋㅋ)
그러면 선생님들도 모두들 수학을 전공하셨으니 그런 기초적인 내용은 가르쳐주시리라 믿습니다.
님이 지금 관심 갖는 무한을 더 공부하면 신기한 결론들에 다다르게 됩니다.
님의 관심사에 근접한 대표적인 세 가지 사실만 남길게요.
"자연수의 개수와 유리수의 개수는 같다"
"실수의 개수는 유리수의 개수보다 많다"
"무리수의 개수는 유리수의 개수보다 많다"
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힐베르트의 여관
여관의 방이 무한개라면... 꽉 차있어도 손님이 더 들어갈 수 있지요.
방을 하나씩 번호붙입시다.
1번방, 2번방, 3번방, ... 끝없이
그런 다음 손님이 오면 1번방 손님은 2번방에, 2번방 손님은 3번방에, ....
그러면 1번방이 남으니 손님을 받으면 되는 겁니다.
이것을 수학적으로 표현하면 이렇습니다.
자연수의 집합 N이라 하고, 자연수중 1을 뺀 나머지 자연수들의 집합을 K라 할 때,
다음 함수 f:N->K 는 일대일 대응함수이다.
f(n) = n+1
그러니까 이 수식을 상황에 접목시키면...
"새 손님 한 분이 오기 전에 여관을 가득 채웠던 손님들의 수는 여관 전체 방의 수보다 1 작은 수와 같다."
아리송하죠?
이것이 무한입니다.
무한에 대한 명확한 정의를 내리고 연구하다가 결국 미쳐서 죽은 수학자가 있습니다. Cantor(우리나라에선 칸토어 또는 칸토르라고 부릅니다)가 그 사람입니다.
님이 헷갈리는 것처럼 이 사람도 논리적으론 자연수와 유리수의 개수가 같은데... 도저히 마음으론 이해가 안 갔던 거죠.
그리고 자신의 스승(크로네커라고 대수학에 큰 공헌을 한 수학자)은 칸토어의 주장이 틀리다고 면박을 주곤했다고 합니다.
그러니 미칠 수밖에요. ㅠㅠ
님 앞으로도 수학에 지속적으로 관심 가져주세요~!
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