멱급수 수렴반경 문제인데요

[mathlove★]

2번을 푸는데 n^1/n -1이 0으로 수렴하고 감소수열이니까
1번을 이용하려고 하거든요.

그런데 1번이 증명이 명확하게 증명이 안 되어서...

비율판정법을 써봤는데, 극한값이 명확하게 안 나오더라구요.

어떻게 증명해야할지..

그리고 2번 급수를 푸는데 1번을 이용하지 않는 방법으로는 어떻게 해야 하나요?

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[양말부르주아]

엄밀히 말하면 위의 문제는 약간 잘못 된 것입니다. 왜냐하면 수렴구간 안에 [-1, 1)이 포함된다는 것은 맞지만, 이를테면 a_n = 1/n!로 하면 수렴반경은 무한대가 되거든요.(바로 e^x의 멱급수 전개가 되죠). 아마 문제의 의도는 방금 말한 것과 같이 [-1, 1)이 수렴구간 안에 포함된다는 내용을 묻는 것 같군요.

[양말부르주아]

그리고 x=1이 수렴구간에 들어간다고 단언할 수 없는 것이 a_n = 1/n 이라면 수렴하지 않으니까 당연하겠죠?

[양말부르주아]

그리고 말이죠... 2번 풀 때요... { n^(1/n) } 이 수열은 제 3항부터 감소해서 1으로 수렴하는 수열이 됩니다.(그것의 증명이 꽤 어렵습니다.) 그러니 혹시 시험 답안을 쓰실 때에는 1번 문제를 그대로 적용해서는 안 되구요. n>=3 이상이라는 것을 밝혀두시기 바랍니다.

[양말부르주아]

교대급수의 수렴에 대한 정리를 약간 일반화해서 "어떤 자연수 N이 존재해서 대하여 n>N인 모든 n에 대해서 a_n은 감소하고, 양항이며, a_n -> 0 이면 ∑((-1)^n)×a_n 은 수렴한다." 라는 정리가 있기 때문이죠. 이 정리의 의미는 "꼭 첫항부터 감소할 필요는 없다"는 것입니다.(즉, N+1항부터 감소) 직관적으로 생각해도 처음 유한 개의 항들은 합해봐야 유한이니까 그것이 감소하든 증가하든 급수 수렴에는 영향을 주지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

[양말부르주아]

멱급수에서 수렴반경이 존재한다는(아주 좋은 성질!) 것을 잘 이해하시기 바랍니다. 임의의 함수열은 그렇지 못하죠. 비교를 해보면 잘 아실듯~