[해석학]급수 문제입니다만 아이디어가 독특한 문제입니다..

[추억으로 수렴]

문제는 .. " 평균값정리" 를 이용하여 다음 급수의 수렴/발산 을 판정하시오..

씨그마(n=1 ->00) [e^(1/n^2) - 1] 입니다.. 수식에 대해 혼란이 있는관계로 다시 표현하겠습니다..

 "exp(1/n^2) - 1" 입니다....

[배탱]

f(x)=exp(x)라고 할때 {exp(1/n^2) - 1}/(1/n^2)= {exp(1/n^2) - exp(0)} / {(1/n^2)-0} 평균값정리에의해 ∃c_n∈[0,1/n^2] ,따라서 exp(1/n^2) - 1/(1/n^2)= f'(c_n) 그런데 ∀n, f'(c_n)≤e 이므로(∵최대구간인[0,1]에서 최대기울기) exp(1/n^2) - 1<e *(1/n^2) 양변에 시그마를 취하면 (p급수 p＞1이므로) 우변 수렴. 따라서 문제의 급수도 수렴.

[비는아픔]

이야~