미적분학 질문이요...

[비는아픔]

뉴턴표지가 압박인 Vector Calculus의 parametrized surface를 공부중인데요

R2 　->R3

(u,v)　 (x,y,z)

로 매개화되었을때,

regular surface를 Tv x Tu≠0 로 정의하는데... 이게 접평면 존재 여부와 정확히 어떤 관계인지 궁금합니다. 

(1)접평면이 존재하면 반드시 Tv Tu가 linearly independent한건지,

(2)단지 (u0, v0)를 지나는 단 두개의 path의 cross product만 검사해도 접평면 존재 여부가 충분한건지,

잘 모르겠습니다. 책에 명확히 안나와있는것 같아서요...; 설명좀 부탁드릴게요.

(물론 R2->R3로 가는 위의 매개화 함수는 C1입니다.

아, Tv, Tu는 각각 v, u를 따라가는 R3상의 path의 velocity를 말합니다.

[비는아픔]

무슨뜻인지 잘 모르겠는데요...ㅠㅠㅠ 일단 클라인님// 접평면이 존재하는데도 Tv x Tu = 0인 C1인 매개화 (u,v)->(x,y,z)가 존재하나요? 예를 하나 들어주시면 감사하겠습니다;

[Klein]

블러디님께서 지적하신대로, 곡면이라는 개념은 주어진 도형보다 매개화로 보는 것이 여러 모로 편합니다. 하지만 다른 관점에서는, 이건 편의상 그런 거고, 우리가 결국에 관심을 가지고 있는 것은 이미지인 도형이기 때문에 매개화에 의존하지 않는 곡면의 개념이 필요하다고 주장하기도 합니다. 이건 어디까지나 관점의 차이니까, 이해만 잘 되었으면 각자 편한 관점을 골라 쓰면 됩니다.

[Klein]

그리고 비는아픔님께서 요구하신, 접평면이 존재하는데도 T_u x T_v = 0인 대표적인 예로는, X(u,v) = (x, y, z), x = -e^{1/u^2} if u < 0, x = 0 if u = 0, x = e^{1/u^2} if u > 0, y = v, z = 0 정도면 되겠네요. 미분가능한지는 확인해 보시면 알 수 있을거고, 이 매개화의 이미지는 z = 0인 평면입니다. 그러나 X_u(0,a)=0이고, 당연히 외적해도 0이 됩니다.

[Klein]

혼동이 되신다면, 간단하게 곡면이란 휘어진 면 뿐 아니라 매개화까지 주어져 있어야 하는 것으로 생각하시는 것이 좋겠습니다. 그리고 정규곡면이라면, 각 점에서 항상 수직인 방향을 말할 수 있게 되겠지요.

[비는아픔]

e^(1/u^2)이 아니라 e^(-1/u^2)이겠...죠?(아닌가.......-_ㅠ) (1)그냥 x=u^3, y=v, z=0해도 클라인님이 드신 것과 비슷한 예가 되는건가요? // (2)음... 만약 Tv, Tu가 0이 아닌 크기를 가지고 있는 경우라면 어떻게 될는지요? 예를 좀 ;) 감솨합니다 (__)