[해석학]상한문제

[조재곤]

E,F는 공집합이 아닌 R의 부분집합이고 위로 유계이다  

E+F={x+y|xㅌE, yㅌF} 일때 다음을 증명하여라.

sup(E+F)=sup(E)+sup(F)

가능한 다양한 풀이 방법 부탁합니다.

[미래수학교사,ㅎ]

sup(E)= a , sup(F)= b 라고 하자. 임의의 x ㅌE,yㅌF 에 대하여 x+y <= a+b 이므로 a+b는 E+F의 상계이다. 다음으로 a+b가 최소상계임을 보이기 위해서 임의의 양수 e(입실론) >0에 대해서 상한근사정리에 의해 a-e/2 <= x 를 만족하는 x ㅌ E 가 존재하고, b-e/2<= y 를 만족하는 yㅌF 가 존재하여 a+b-e <= x+y <=a+b 가 성립됩니다.