문과생인데 수학을 참 좋아해서........
미적분만 듣고 바로 다변수해석학 덤볐는데.....
시험공부하는데.. 낭패보게생겼습니다..ㅠㅠ
교재는 Calculus on Manifolds. Spivak. 1965 인데요..
1. If A ⊂ [0,1] is the union of open intervals (ai, bi) s.t each ration number in (0,1) is contained in some (ai, bi), show that boundary A = [0,1] - A
([0,1]의 부분집합인 A는 (ai,bi)의 union일때 (0,1)은 임의의 (ai,bi)를 포함한다. 이 때 경계A = [0,1]-A임을 보이시오)
2. Prove that the union of any (even infinite) number of open sets is open. Prove that the intersection of two (and hence of finitely many) open sets is open. Give a 반레 for infinitely many open sets.
위 두 문제는 전혀 손도 못 대겠습니다..ㅠㅠ
3. Prove that a linear transformation T : R^n -> R^m is continuous.
제 풀이 : 이건.. lT(h)l ≤ M lhl, h∈R^m 인 M이 존재함, 즉, M은 T(h)를 선형변환시켜주는 역할을 함.
R^n이 연속인 경우 M에 의해 선형변환하므로 T : R^n -> R^m 역시 연속임.
4. Prove that f : A -> R^m is continuous at 'a' if and only if each f(i) is.
제 풀이 : f : A -> R^m을 각 f(i) (i = 1, ..... , m)에 대해서 정의된 함수라고 하면, 각 f(i)가 존재한다면 ai에서 그 값이 존재하고, lim(x->a) f(x)가 존재하며,(왜냐하면 f(i)에 대해서 정의되어 있으므로) 또한 f(i)는 각 A에 대해서 그 값을 가진다 했으므로 lim(x->a) f(x) = f(a)가 되어 f : A -> R^m은 연속임.
위 두개는 이렇게까지밖에 접근을 못했는데요,.. 이걸 입실론 델타로 풀려면.. 어떻게 풀어야 할까요..
그리고 이건 아주 기초적인 문젠데.. 기호의 표현방식을 제대로 몰르는것같아서..
한문제만 부탁드릴게요..
5. Find the f' and partial derivatives of the following functions (where g : R -> R is continuous)
f(x,y) = (인테그랄 a에서 x+y까지) g
시험공부 하다가 도저히 문제가 안 풀려서 여기에다가 질문 올립니다..
답변 부탁드릴께요..
감사합니다.