평행선공준에 대한 질문임돠~

[smilegoeun]

유클리드 기하에 관한 내용을 보면, 평행선 공준을 증명하려다가 그것을 부정해도 모순이 생기지 않은 공간, 즉 비유클리드기하를 발견하게 되잖아요.

그런데 여기서 문득 궁금한 점이...

원래 공리라는 것은 증명하지 않고 우리가 받아들여야 하는 것들이잖아요.

그런데 왜 유독 평행선 공준은 증명을 하려고 노력했던 것인가요?

질문이 너무 엉뚱한것 같아서 부끄럽지만..가르쳐 주세요~^^

[John Forbes Nash]

짧은 지식이지만 답변해볼게요. 공리(axiom)와 공준(postulate)은 사실 약속으로 받아들이지만 공준은 약간 공리와 느낌이 다르다고 생각합니다. Euclid가 제시한 공리와 평행선 공준의 내용을 보면 평행선 공준은 자명하지 않는 듯 보여 증명이 필요함을 느꼈으리라 생각합니다. 그래서 증명을 시도해봤지만 수학의 다른 공리로부터 증명은 안되고 평행선 공준은 삼각형의 내각의 합이 180도란 내용과 필요충분하다는 것을 알게 됐습니다.

[John Forbes Nash]

결국 수학자들의 노력끝에 평행선 공준은 결정불가능(undecidable)하고 무모순(consistent)함을 증명하게 됩니다. 즉 평행선 공준은 수학체계 내에서 수학의 다른 공리들로부터 증명도 반증도 불가능하며 수학의 다른 공리와 모순을 일으키지도 않는다는 것입니다. 따라서 평행선 공준을 받아들일 수도 받아들이지 않을 수도 있는 것입니다. 평행선 공준을 받아들이면 Euclidean geometry, 받아들이지 않으면 Non-Euclidean geomery가 발생하게 되는 것입니다. 도움이 되셨음 합니다.^^

[추억으로 수렴]

good!!! 사케리, 리만, 로만체프스키 등등 비유클리드 기하에 공헌했습니다..사실, 발표는 하지 않았고 의견만을 전해진 내용이지만 가우스도 이러한 생각을 가지고 있었습니다..그러나 현명한 선택을 했죠..왜냐하면 발표하면 우매한 인간들의 비난이 쏟아질게 뻔했으니..그 최대의 피해자가 로만체프스키가 아닌가 싶습니다..

[smilegoeun]

감사합니다.^^