변분법

[청Deth결]

아 대학은 담당교수가 누군지 파악이 안되서

여기서 물어보면 저기 가라 그러고.. 왔다갔다 많이해야하네요

변분법에서

I=inter[x(1) to x(2)] F(x,y,y') dx  가 최소가 되게 하는 y가 최단곡선 이라는 것인데

여기서 일반적인 도입식은

Y(x)=y(x)+cf(x)  c는 작은 양수 x(1)<x<x(2)

f(x(1))=0 f(x(2))=0 입니다 여기선 Y는 c의 값에 의해서도 변하므로 c역시도 변수라 둡니다

저위의 적분은 c의 함수가 된다

위의 적분에서 c에 대해서 미분을 한뒤 그 값이 0이 되는 점을 찾으면 그것이 극대or극소점이므로 그것을 찾으면되는데

위의 적분을 c에 관해서 미분할때

dI/dc=inter[x(1) to x(2)] (rF/rY*dY/dc+rF/rY'*dY'/dc) dx  여기서 r은 편미분 라운드

여기서 의문점 F라는 함수는 x,Y,Y' 으로 이루어진 함수인데

위의 미분에선 x를 상수취급한것인데

왜 x를 상수취급을 할수 있을까요?

[푸른하늘]

생각해보면, x는 적분에서 dummy variable이지요. 헷갈릴 소지가 있는데, 어쨌든 적분결과를 c에 대해 미분하는거고, 적분에서 위끝 아래끝이 정해져있다고 가정하므로 적분결과는 x가 변수가 되지 않고, 따라서 x를 c로 미분하는게 의미가 없습니다. 실제로 변분법의 2nd form에서는 rF/rx를 이용해서 식을 전개해나갑니다.

[청Deth결]

음 그렇게 간단하게 가정하고..미분한다는것에는 뭔가 많은게 있을것 같은데요 어디서 찾아볼수있을까요

[푸른하늘]

아래끝 위끝의 고정은 굳이 가정이라 썼지만 당연한건데요.. ㅎㅎ 고전물리책에서 더 많이 본것 같네요

[청Deth결]

아니 전 그것을 물어본게 아니라.. 적분밖의 미분을 적분안으로 집어넣어서 순서를바꿔서 미분을 해주는것에 엄밀한 정리가 있다고 하던데 아닌가요???

[단무깡]

해석학 책에 균등수렴(uniform convergence) 파트에서 이런걸 설명한거 같은데 한번 찾아보세요. 피적분함수가 균등수렴하면 적분안으로 미분이 들어갈 수 있다 뭐 이런 내용을 볼 수 있을겁니다.