댓글 리스트
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작성자 Stewie 작성시간09.04.13 1) 어떤 함수 f(x)가 f(ax) = a f(x)를 만족하면 이 함수를 homogeneous 함수라 합니다. 2) a_n(x) y^n + a_(n-1)(x) y^(n-1) + ... + a_1(x) y' + a_0 y = 0 꼴로 나타낼 수 있는 미방을 homogeneous 하다고 합니다. 여기서, y^n = d^n y / dx^n. 즉, 주어진 미방의 모든 항이 함수 y(x)혹은 y(x) 미분한 함수의 곱으로 표현되어 있으면 됩니다. r(x)같은 경우는 어느 y(x) 혹은 y(x) 미분함수와도 곱해져 있지 않기 때문에, r(x)가 영이 아니라면 이 미방은 homogeneous 하지 않습니다. 줄여서 말하면 같은 단어 homogeneous를 사용했지만, 함수의 homogeneity와 미방의 homogeneity의 정의가 다르다 입니다.
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작성자 쿨쿨쿨Zzz 작성시간09.04.14 dy/dx + 3y = r(x) 와 같은 것들은 다 linear하다고 부르구요, 이 중 r(x)=0인 경우만 homogeneous하다고 부릅니다. 일반적으로 y, dy/dx, d^2 y/dx^2 , ... , d^n y/dx^n 등과 같은 것들을 변수처럼 이해했을 때, 이 변수들에 대해 1차식형태(즉, 이런 항들에 임의의 x에 대한 함수를 곱해서 더한 형태)가 좌변에 오고, 우변에는 임의의 x에 대한 함수(r(x)라 하겠습니다.)가 오면, 이는 linear differential equation이라고 부릅니다. 이런 것들 중, r(x)=0인 경우만 homogeneous하다고 하구요. 정리하면, f_n (x) d^n y/dx^n + ... f_1 (x) dy/dx + f_0 (x) y = r(x)와 같은 형태 --> linear. 여기서, r(x)=0 --> homogeneous.
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작성자 쿨쿨쿨Zzz 작성시간09.04.14 d^2 y/dx^2 + 3x^100 dy/dx + 100000y = e^x ---> linear, non-homogeneous. d^2 y/dx^2 + 3x^100 dy/dx + 100000y = 0 ---> linear, homogeneous. y' + y^2 = 0 ---> nonlinear, 이 경우 homogeneity는 따지지 않는 듯 합니다. 정의하기 나름이기는 하겠지만 보통.. 참고로 homogeneity는 또 다른 뜻으로 사용되기도 합니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_differential_equation