입실론-델타 문제 풀다가 드는 의문점!!!

[아이시떼루]

안녕하세요.. 입실론-델타가 잡힐듯 하면서도 안잡히네요 ㅠ_ㅜ,,,

나름 이 부분이 재밌기는 한데, 떠오르는 의문점들을 해결할 길이 딱히 없어서

여기다 글 올립니다..

토마스 캘큘러스 문제인데, 증명은 솔루션 부분을 거의 베껴 적다시피 한;;;

암튼 질문을 A, B, C 세 개 정도로 할게요..

고수님들 도와주세요 +_+!!

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lim_{x→0} √(4 - x) = 2 임을 증명하시오.

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pf)

|√(4 - x) - 2| < ε     ⇒     2 - ε < √(4 - x) < 2 + ε     ⇒     -ε² - 4ε < x < -ε² + 4ε

|x - 0| < δ     ⇒     δ = min{-ε² - 4ε, -ε² + 4ε}

                                      (그런데 "⇒"를 너무 남발?하고 있는거 아닌지...?)

∴ δ = -ε² + 4ε

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A. 일단 채점자 입장에서 저 정도면 10점 만점에 몇 점 주고 싶은 풀이인가요?

(제가 보기엔 고딩을 갓 졸업한 꼬꼬마들이 아기자기하게 나름 잘 푼거 같거든요..)

교수님이 몇몇 애들더러 앞에 나가서 칠판에다 증명을 적으라 하셨는데,

애들이 하나같이 솔루션이랑 아주아주 유사하게 해놓으니까

"음, 그래 편의상 그렇게 쓴 거군.. 뭐 괜찮아.. 굳잡~"

이라고 말씀하셨어요.

비록 이 문제는 아니지만 인터넷 돌아다니다 보니까

1/(1 + δ) 이렇게 분모로 들어간 δ를 선형?으로

1 + kδ 요렇게 빼내는 테크닉도 구사하고 그러던데,, (암튼 멋있고 그랬어요..ㅠ)

똑같은 문제 상황이라 할지라도

푸는 사람의 내공에 따라 증명의 질이 달라지는 그런 부분인가요?;;

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B. 이름은 "입실론-델타"인데,

마주치는 풀이마다 입실론, 델타를 왔다갔다 하네요 ㅠ

(제가 느끼기에..)위와 다른 방식으로 푼 예를 들자면,

y = x² 이란 함수에서 lim_{x → -2} y = 4 임을 증명하란 문제에서,

(δ < 1에 대해)     (Q.왜 이렇게 δ의 범위를 한정하죠?

                                                   모든 양수범위의 입실론,델타에 대해서 성립해야 하는게 아닌지..;)

 0 < |x - (-2)| < δ     ⇒     -2 - δ < x < -2 + δ, x ≠ -2

|x² - 4| < ε     (Q.맨 첨 문제는 f(x), ε포함 부등식에서 x에 관한 부등식으로 정리해서 δ를 정했다면, 

                                     지금 이 방식은 x, δ에 관한 부등식에서 f(x), ε에 관한 식으로 거꾸로 다가가네요;

-4 - δ < x - 2 < -4 + δ                   그러니까 "ε 먼저, δ 나중"이나 "δ 먼저, ε 나중"은 상관 없나요?)

|x - 2| < max{|-4 - δ|, |-4 + δ|} = δ₁

|x+2|*|x-2| < δ*δ₁     ⇒     δ = ε/δ₁

∴ δ = min{ε/δ₁, 1}

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C. 다시 첫 문제로 돌아가서,

δ = min{-ε² - 4ε, -ε² + 4ε} <<< 요 부분 말인데요,

(y = -x² - 4x, y = -x² + 4x 두 그래프를 머릿속으로 그려놓고 생각해보면)

ε > 0, δ > 0 니까 0 < ε < 4 범위에서만 δ > 0 으로 의미가 있더라구요..

그러면 나머지 ε ≥ 4 인 경우엔 δ ≤ 0 이 되던데, 상관 없나요?;

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아, 질문이 나름 기네요 ㅠㅠ

긴 글 읽어주셔서 감사합니다!!

복 받으세요..

[아이시떼루]

답변 감사합니다~!!! 좀 더 연구해볼게요 ^^; 즐거운 주말 되세요 ㅎ;

[세원군]

2번째 풀이가 실제로 답이 되는가요? 왠지 뭔가 많이 이상해 보이는데;;

[아이시떼루]

증명이 "출제자와 작성자의 소통"이란 관점에서 일단 소통이 됬으니 틀린 증명은 없는거 같네요..
다만 부실한 증명일뿐..ㅠ_ㅜ
아 누군가 모범 증명 좀 써주셨으면 좋겠네요;

[박찬호짱]

2번 문제의 경우에는 주어진 함수가 2차라서 약간의 테크닉이 필요합니다. 먼저 입실론이 주어졌다고 합시다. 그렇다면 우리가 해야할 일은 0 < |x - (-2)| < δ 일 경우 |x² - 4| <ε이 성립하게 되는 델타를 찾는 일입니다.
0 < |x - (-2)| < δ이면 0 < |x +2| < δ 이고, 이경우 |x² - 4| =Ix+2I*Ix-2I <δ*Ix-2I 이 성립합니다. 남은 일은 δ*Ix-2I≤ε 이 되도록 델타를 잡는 일입니다. 이부분에서 테크닉이 필요한데요, 우선 델타의 범위를 정해 보겠습니다. 즉 x가 -2에서 떨어진 정도를 정하겠습니다. 작을 수록 좋은데요(공부하다보면 왜 작은수로 잡는게 좋은지 이해되실겁니다^^;;) 델타를1로 잡아볼께요.

[박찬호짱]

그럼 0 < |x +2| < δ ⇒ 0 < |x +2| < δ=1 ⇒ -3<x<-2 , -2<x<-1 이됩니다. 이 범위에서는 Ix-2I<5 이 성립합니다. 따라서 ε이 주어졌을때 δ={1, ε/5}로 잡으면 0 < |x-(-2)| < δ ⇒ |x² - 4| =Ix+2I*Ix-2I <δ*5 ≤ 5*ε/5=ε 이 되어 증명이 끝납니다..책에보면 분명 이차식일경우 입실론델타로 푸는 예제가 있을거예요 꼭확인하시고 풀어보세요^^