위상수학

[김천일]

f:R에서 R이 연속

   g:R에서 R이 연속이면

  {x∈R | f(x) ≠ g(x)}는 개집합임을 보이시오.

  어떻게 증명하면 좋을까요^^

자세한 풀이과정 부탁드립니다.

[지킴이]

h=f-g라고 생각하면 문제는 h가 연속일때 h(x)가 0이 아닌 x를 모아놓으면 개집합이됨을 보이라는 문제와 동치문제가 됩니다. 이제 h의 함수값이 0이 아닌 점들을 모은 집합의 임의의 원소가 이 집합의 내점임을 보일 건데요. 즉 h의 함수값이 0보다 큰 x의 적절한 근방에서는 모두 그 함수값이 0보다 크다는 것을 보이면 됩니다. 물론 0보다 작은 것은 적절한 근방에서 모두 0보다 작아짐도 보여야 합니다. 그럼 문제는 연속의 정의에서 ε과δ의 값에 연관되는데요. h의 함수값이 0보다 큰 임의의 원소를 a라 할 때, ε을 a의 함수값의 반으로잡고 생각하면 도움이 될겁니다.