현대 대수학 질문이요ㅠ

[초미녀]

G,H,K를 유한 생성된 가환군이라 하자. 만약 G X K 가 H X K (cartesian 곱입니다)와 동형이면 G 와 H가 동형임을 보여라.

이 문제에서요.. ㅠㅠ 궁금한게 유한생성가환군의 기본정리에 의해서

G, H, K가 각각 유일한 베티수를 가지면서 순환군의 직접곱 형태로 표현되잖아요..

근데 그러면 G X K 가 H X K 동형이면 양쪽이 같은 베티수를 무조건 가져야 하나요?

그리고 궁금한게 양쪽이 같은 수의 순환군의 직접곱을 가져야 하나요?

ㅠㅠ 이 문제좀 꼭좀 명쾌하게 알려주세요.ㅠ

[비는아픔]

그 정리가 말해주는게 모든 abelian group은 그런 꼴이고, 각 그런 꼴들은 distinct하다 입니다. 즉, 무조건 가져야 합니다.