이번 질문은
함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 단조증가일 때, f의 불연속점은 가산임을 보이는 것입니다.
불연속점들의 집합을 잡아서 증명하는 내용은 이해가 되긴 하는데 직관적으로
다가오지가 않아서 이렇게 글을 올립니다.
제가 생각하기에 직관적으로 계단함수(step function)을 잡을 때 무리수 갯수만큼 점프(jump)를
하면 불연속점이 비가산이 되지 않을까요? 만약 이러한 함수가 존재할 수 없다면 왜 그런가요?
그리고 직관적 설명이 필요한 정리로 웨이드(wade)책 Thm4.26에 보면 함수 f가 1-1이고 폐구간 [a,b]
에서 연속이면 monotone이라고 나와있는데요.. 이것도 직관적으로 설명해 주시면 좋을 듯합니다.
늦은 밤 편히 쉬십시요~
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댓글
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작성자비는아픔 작성시간 10.04.29 1. 무리수갯수만큼 점프를 시키면 순식간에 무한대로 점프하기때문에 안될듯-_-; 결정적으로 저것의 증명이 그러한 함수가 존재할 수 없다는걸 말해주는거죠...; 2. 직관적으로 설명하면... monotone이 아니면 올라가다 내려오는 곳 혹은 내려가거나 올라오는 곳이 있을텐데 그 순간 1-1에 모순되는 지점이 발생...(???)
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작성자hahaman 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 10.04.30 관심가져주셔서 감사합니다. 일단, 1-1이라 가정하면 임의의 서로 다른 두 X에 대하여 함수값이 달라질 테니 monotone이 됨을 나중에 알 수 있었습니다. 문제는 점프함수인데..이건 아직도 직관적으로 다가오질 않네요..ㅎ