[확률통계]mgf가 가지는 의미가 무엇일까요?

[Numerical]

mgf(적률생성함수)에 대한 질문입니다만

이것이 통계에서 가지는 의미가 궁금합니다.

혹자는 라플라스변환이라고도 합니다만

이 식이 라플라스변환하고는 exp의 지수부 부호가 틀리다보니

단순히 저렇게 치부하기는 어려운거 같아서요..

아니면 그냥 분산이나 평균 구하기 쉽게 만들라고 한 개념인지요?

[Martingale]

본질적으로 라플라스변환(LT)과는 지수부의 부호만 다르기 때문에 mgf는 LT와 같은 개념이라고 보셔도 됩니다.
LT와 mgf는 정의역이 (덜 엄밀하게) 반대이기 때문에 필요에 따라서 LT와 mgf 중에 선택해서 계산을 합니다.

통계에서 가지는 의미라...
mgf가 존재한다면(분포에 따라 반드시 존재하는 것은 아니기 때문에) 유일(unique)하게 됩니다.
LT과 마찬가지로 mgf로 변환해서 transformed domain에서 계산하는 것이 더 편할 때가 있기 때문에 (convolution 계산 등에서의 간단함)
변환을 구하는 것입니다.

[Martingale]

mgf (moment generating function)이라는 이름이 붙은 것은 (이미 아시겠지만)
n번 미분해서 0을 대입하면 n차 moment를 구할 수 있기 때문입니다.
(E[X^{n}]을 n-th moment라고 하지요.)
하지만 mgf의 목적이 moment를 구하기 위한 것만은 아닙니다.
(확률변수 전체의 정보를 담고 있기 때문에 moment보다 더 많은 정보를 갖고 있습니다)

mgf에서 중요하게 생각하셔야 하는 것은 LT와 마찬가지로
존재하는 정의역이 어디냐하는 것인데 시험에 나온다면 반드시 그 정의역을 적어주셔야 합니다.