질문이요!! 아무리 생각해도 모르겠어요 ㅠ

[제2의리만]

문제. f(cos(π/7))=0인 정수계수 3차다항식 f(x)를 구하여라.
풀이 e^(πi/7)=(x^7+1)/(x+1)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-2x+1=0의 해이다 따라서 2cos(π/7)은
x^3-x^2-2x+1=0이다. 따라서 부터가 이해가 안가요 ㅠㅠ따라서 2cos(π/7)은
x^3-x^2-2x+1=0이다 왜 이게 성립되는지 이해가 안가요 ㅠ

[우뇌자극]

Z=(π)i /7 , f(Z) = (e^Z)^7 + 1 로 놓으면 = cosπ + i* sin π + 1 = 0,,
f(Z) = (e^Z + 1) * ( e^(6Z) - e^(5Z) + ~- ~ + 1)* (e^Z+1) 이므로 ,,
e^Z = X 로 놓으면 ,,
e^( (π)i /7 ) = x , x^6 - x^5 + x^4 - + - + 1 = 0 ..
을 성립시키는 x= e^( (π)i /7 ) 가 존재,,
w = Z^(7/3) 이라면,,
w ^2 -w + 1 = 0 을 만족시키는 w 가 존재 그러나 3차식은 모르겠음.

[제2의리만]

이따가 3차식올려드릴까요?! ㅋㅋ

[김종인]

우선 e^(πi/7)→ (x^7+1)/(x+1)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0 가되는데
= (x^6-x)-(x^5-x^2)+(x^4-x^3)+1 로 나누어 줍니다
x^6= e^(6πi/7)= cos(6π/7)+isin(6π/7)
x= e^(πi/7)= cos(π/7)+isin(π/7) 의 형태로 되고
sin(t)= sin((π-t), cos(t)=-cos((π-t) 의 성질을 가져서
x^6 -x= 2cos(π/7) 가 됩니다
같은 방법으로
x^5-x^2= 2cos(2π/7) ; x^4-x^3= 2cos(3π/7)
이제 이것들을 앞에 식에 대입해주면
2cos(π/7)- 2cos(2π/7)+ 2cos(3π/7)+1 =0 이 되고
cos함수의 두배각, 세배각 공식을 써서 정리해주면 x=2cos(π/7)은
x^3-x^2-2x+1=0 가 나옵니다

[제2의리만]

감사합니다 ㅋㅋ 확실히 이해가 갔네요 ㅎㅎ

[우뇌자극]

좋운 답변 감사 ,, 너무 오늘 정신이 없어가지고~~~ㅎㅎㅎ