[해석학]균등연속과 관련된 문제입니다..

[Identity]

y = sqrtx * sin(x) 의 균등연속 여부를 알고 싶은데 쉽지가 않네요. (0 , ∞) 에서 입니다.

비슷한 형태인 y = x*sin(x) 는 균등연속이 아니라는 것을 알겠는데...

루트가 들어가니까 쉽지가 않네요. 도움을 주시면 감사하겠습니다 ^^

[비는아픔]

Fix ε=1.
For any δ>0, consider Δ = min(π/2, δ/2)∈(0,π/2) and a natural number n > (1/(2π)) ((1/sin(Δ))^2 - Δ)
(Note that sin(Δ) is nonzero;;)
Now for x = 2nπ ∈(0, ∞), and z = x + Δ∈(x-δ, x+δ),
|√z sin(z) - √x sin(x)| = |√z sin(z)|
= √(2nπ + Δ) |sin(2nπ + Δ)|
= √(2nπ + Δ) |sin(Δ)|
> √[(2π) * (1/(2π)) ((1/sin(Δ))^2 - Δ) + Δ] |sin(Δ)|
= 1 = ε
That is, |√z sin(z) - √x sin(x)| > ε. Therefore y(x) = √x sin(x) is not uniformly continuous on (0, ∞).

ps. x sin(x)의 경우는 어떻게 하셨길래??

[Identity]

아, 너무너무 감사합니다 ^^ 그래프로 예상은 했지만 쉽게 생각할 수 있는 수준이 아니였네요. ^^;
x sin(x) 는 a_n = 2π(n+1/n), b_n = 2πn 을 이용해 l a_n - b_n l → 0 이지만
ㅣf(a_n) - f(b_n) l → 4π² 으로 했습니다.
균등연속이 아님을 보이는 문제에서는 대부분 수열을 이용해서 해결하려 했는데
이런식으로도 보일수가 있네요. 제가 쉽게 떠올릴 수는 없겠지만.. ㅎㅎ
그러고 보니 n>0인 고정된 n에 대해 xⁿ sin(x) 가 (0, ∞)에서 균등연속이 아닐 것 같다는 생각이 드네요;

[비는아픔]

힌트는, 도함수가 bounded이면 Lipschitz이므로 uniformly conti이다는 점에 있습니다. 원래 함수를 미분하였을 때 (0,∞)에서, 특히 x=2nπ인 부분만 관찰해도 도함수가 unbdd이기 그곳을 본 것입니다. 님과 같은 테크닉은 전부 잊어버려서 이렇게 정의를 이용하는 원초적인 방법밖에 생각을 못해내겠네요...ㅠ_ㅠ 제 풀이를 이용하면 수열로도 어거지로 될 거 같긴 한데 깔끔하진 않을듯...