Re:System of ODE \dot(y)=A(t)y 의 해가 0이 아님을 보이는 것에 대한 질문

작성자비는아픔|작성시간11.07.14|조회수90 목록 댓글 4

미분방정식 sense를 다 잊어버려서 이렇게 하는게 맞는지 모르겠네요...

Suppose $\bf{y}$ is differentiable, $\bf{A}$ is continous and ${\bf{y}}'(t)={\bf{A}}(t){\bf{y}}(t)$ on $\mathbb{R}$ .

Let $Z=\{ t\in \mathbb{R} : {\bf y}(t)=0\}$ .

■Claim : $Z$ is open and closed in $\mathbb{R}$

proof) $Z$ is closed trivially.

Assume ${\bf{y}}(t_{a})=0$ .

Note that for some constant $M>0$ , $\|{\bf A}(t)\|\leq M$ for any $t\in [t_{a}-1,t_{a}+1]$ by the continuity of ${\bf A}(t)$ .
Take $\displaystyle \delta < \textrm{min}(1,\frac{1}{M})$ .

Then for any $t\in (t_{a}-\delta , t_{a}+\delta )$ ,

$\displaystyle \|{\bf{y}}(t)-{\bf{y}}(t_{a})\|$ $\displaystyle = \|{\bf{y}}(t)\|$

$\displaystyle = \|\int_{t_{a}}^{t} {\bf{y}}'(s_{1}) \textrm{d}s_{1}\|$ $\displaystyle = \|\int_{t_{a}}^{t} {\bf{A}}(s){\bf{y}}(s_{1})\textrm{d}s_{1}\|$
$\displaystyle \leq M\int_{t_{a}}^{t}\|{\bf{y}}(s_{1})\||\textrm{d}s_{1}|$

$\displaystyle \leq M^{2}\int_{t_{a}}^{t}\int_{t_{a}}^{s_{1}}\|{\bf{y}}(s_{2})\||\textrm{d}s_{2}||\textrm{d}s_{1}|$

$\displaystyle \ldots \leq M^{n}\int_{t_{a}}^{t}\int_{t_{a}}^{s_{1}} \ldots \int_{t_{a}}^{s_{n-1}} \|{\bf{y}}(s_{n})\||\textrm{d}s_{n}| \ldots |\textrm{d}s_{1}|$

$\displaystyle \leq M^{n}|t-t_{a}||s_{1}-t_{a}|\ldots |s_{n-1}-t_{a}| L$ (where $L=\textrm{inf}\{\|{\bf{y}}(t)\|\in\mathbb{R}:t\in(t_{a}-\delta,t_{a}+\delta)\}$ )

$\displaystyle \leq (M\delta)^{n}L \rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty$ since $M\delta < 1$ .

This implies that ${\bf{y}}(t) = 0$ for any $t\in(t_{a}-\delta, t_{a}+\delta)$ .

Therefore, $Z$ is open. Q.E.D.

By the claim above, if ${\bf{y}}(t)=0$ for at least one $t$ , then $\bf{y}$ is identically zero since the real line is topologically connected.

Now the original question is easy to answer.

□Remark The condition that ${\bf A}$ is continous on $\mathbb{R}$ is necessary.

Consider
$\displaystyle {\bf A}(t)=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{(t-1)^{2}} \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ .
Observe that ${\bf A}$ has a singular point $t=1$ .

With $\displaystyle {\bf y}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}$ , the unique solution of the ODE is given by $\displaystyle {\bf y}(t)=\begin{pmatrix} (t-1)^{2} \\ (t-1)^{3}\end{pmatrix}$ , which can be extended continuously to $t=1$ .

Note that ${\bf y}(1)={\bf 0}$ .

<여기부터 그림파일>

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작성자black★devil | 작성시간 11.07.15 ㅠㅠ 죄송하지만 수식이 다 엑박으로 나오네요... 혹시 스프링노트나 그런데서 작성해서 붙이신거면 링크주소를 남겨주셨으면 합니다.
작성자비는아픔 작성자 본인 여부 작성자 | 작성시간 11.07.15 이상하네요 ㅠ 휴대폰으로도 보이던데... wordpress라는 블로그를 이용해서 수식만 썼습니다; 다른분들도 다 엑박으로 보이시나요??? 어쨌든 그림파일로 다시한번 올려봅니다ㅠㅠ(그림파일 클릭하시면 보다 뚜렷하게 보입니다)
작성자black★devil | 작성시간 11.07.17 우선 친절히 자세하게 적어 주셔서 감사합다. ^^ 근데 제가 기본기가 부족하여 open, closed, topologically connected 등의 개념과 결과를 잘 대응을 못 시키겠네요 ㅠㅠ 일단 풀이 과정은 이상이 없는듯 하니 제가 좀 더 공부를 하겠습니다. 근데 중간에 inf ||y(t)|| 가 아니라 sup 이어야 하는거 아닌가요? 아닌가.....~_~
답댓글 작성자비는아픔 작성자 본인 여부 작성자 | 작성시간 11.07.17 sup이 맞네요... 왜 inf로썼지 -_-; 공부해보시고 모르는 점 있으면 질문 주세요 ㅎㅎ ㅠ

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