[해석학]해석학 절대수렴에 대한 문제입니다

[해라바기]

사진에 보이는 2번문제인데요
풀어보니 잘풀리지가않아서요ㅜㅜ
함께도와주세요^^

[MiRi_NaE]

네 정확하게는 a_n의 절대값

[The light]

이 문제를 해석학입문의 수준에서 접근하려면 급수를 부분합의 극한의 관점에서 정의되었다는 것을 명확히 이해하고,
급수의 수렴 조건이 정확히 수열의 수렴 조건인 코시 수열의 수렴으로 보아야 한다는 것이 핵심이고
개인적 생각으로는 해석학 입문에서 배워야 하는 정말 중요한 관점 중 하나라고 생각합니다.
그렇기에 ratio test나 root test 같은 걸 생각하면 안 되는 거지요. 역은 성립하지 않으니 주의해야 합니다.
그러면, 주어진 조건은 결국 계수의 양수로 주어진 부분합의 수열이 코시 수열일 때에, 마다마다의 계수에
p승을 붙인 부분합의 수열이 코시 수열이 되는 게 성립하느냐 하는 질문으로 문제가 탈바꿈이 됩니다.

[The light]

그렇게 생각하면 계수의 수열은 0으로 수렴하고 있기 때문에, 일정 인덱스 이상부터는
모든 계수의 양수가 1보다 작아지므로, p승을 가해준 부분합이 더 작아지기 때문에 사실상 증명이 끝나고
위의 말들을 입실론과 인덱스와 부등식을 이용해서 꾸며주시기만 하면 됩니다.

[The light]

사실 측도론을 배운 관점에서는 적어도 이 문제는 Lp-space를 counting measure에 대하여 준 경우, 함수(여기선 각 계수들)를 고정한 경우 자동으로 L_infinity를 만족하는 전제가 성립하고, p>1에 대해서 Lp-space가 되도록 하는 모든 p들의 모임이 connected set임을 시사하는 문제입니다.
일반적으로 L_infinity가 만족되는 다른 measure에 대해서도, 고정된 함수의 절댓값의 적분이 실수가 되는 p값 하나만 찾아내면 그 p 이상의 모든 지수승에 대한 적분이 다 실수값을 갖는 사실은 여전히 성립합니다. 급수를 쓰지 않아도요..

[해라바기]

이렇게자세히설명해주시다니ㅠㅠ
너무감사합니다~
제공부가많이부족한것같네요
댓글달아주신 내용을 토대로 더공부해야겠어요..