Re:다항함수의 극값에 대한 질문...

[짱가]

물으신 분이 아래 내용이 이해가 되지 않은다고 하셨으니까, 주로 이해를 구할 목적으로 글을 올립니다. 저의 짐작엔 질문하신 분의 뜻에 따르자면, 다항함수란 실계수를 갖고 실수를 변수로 하는 다항식을 말하는 것이라고 판된됩니다(??... 맞습니까?) 아래글에서 다항함수는 바로 이런 실계수를 갖고 단 하나의 실수 만을 변수로 하는 상수가 아닌 다항식으로 제한하겠습니다. 덧붙여 앞으로 n차 다항식이라할 경우 이 다항식의 미지수의 최고차수는 n이고 이 차수의 계수는 영이 아닌 것으로 약속하겠습니다. 일단 다항함수를 이해하는 몇가지 기본 내용을 말씀드리면 이렇습니다. (1) 최고차항의 실계수가 양수이면 이 다항식의 함수곡선은 평면 위에 그려졌을 때 분명 오른쪽 끝이 한없이 커지는 모형으로 나타내어진다고 이해를 하여야 겠습니다. 최고차항의 계수가 음수인 경우는 반대로 오른쪽 끝이 한없이 작아지는 모형으로 그래프가 평면상에 그려진다고 보셔야 겠습니다. ++ 계속 기록할 내용이 자질구레해질 수 있음으로 혼돈할 염려가 없다면 '다항식'을 '다항식의 그래프'와 동일한 용어로 사용하겠습니다. 올려드리는 내용을 준비해두신 연습지의 여백에 나태내 보시는 것이 이해를 쉽게 도울 것 같습니다. (2) 이렇게 (1) 에서 언급된 내용을 중심으로 이번 항목 (2)에서는 최고차가 양수인 n차의 다항식을 고려하겠습니다. -- 1차식인 경우는 이 다항식은 오른쪽 끝이 올라간 직선이 됩니다.(물론 이 경우 이 직선의 왼쪽은 한없이 작아지는 모형으로 일정한 기울기를 가지고 내려가겠지요.) -- 2차식의 경우는 위 앞선 1차식의 왼쪽 끝을 위로 정반대로 들어올린 것이라고 보시면 되겠습니다. 대충 영문 U 자 모형이 되겠지요. (참고로 말씀드리면, 다항식은 연속 함수일 뿐더러, 무한번 미분 가능한 함수이므로 첨점(정확한 정의는 아니지만, 쉽게 뾰족한 점들이라고 보시면 이해를 구하기 쉽습니다.)을 갖지 않으므로 이 2차식이 영문의 V 자 모형이 된다고 생각하지 않아야 합니다. -- 3차식의 경우는 위 2차식의 왼쪽끝을 다시 끝없이 아래로 잡아내린 것이라고 생각할 수 있습니다. 그러니까, 영문 U 자에서 왼쪽 앞꼬리를 길게 느려빼서 원래의 모양인 U 자를 유지하는 곳은 그래도 두고 새롭게 다시 아래로 처지는 선을 부드럽게 붙여 그린 것이라고 보시면 되겠습니다. -- 4차식의 경우는 위 3차식의 모형을 그래도 유지시키고 다시 이 그래프의 왼쪽 끝을 늘려서 반대로 1차식에서 2차식을 만들었던 경우처럼 그 끝을 한없이 위로 올려 그린 것이라고 보시면 되겠습니다. 이경우는 앞선 3차식의 경우보다 이곳에 표현하기 쉬은 그림이 되는데 영문의 W 모양을 모나지 않게(앞서 말씀드린 첨점이 없는 모형으로) 부드럽게 이어그린 것이라고 보시면 되겠습니다. -- 5차식... 계속해서 이런 반복을 하시면서 다항식의 대략적인 그림을 그려볼 수가 있습니다. 쉽고 간단하게 말씀드리면, 위의 경우 n차의 다항식은 n=1 인 경우 그래프를 평면상에서 x 좌표축을 기준으로 오른쪽에서 왼쪽으로 그려갈 때 오른쪽 윗부분부터 시작해서 다항식의 차수가 하나씩 더해질 때마다 (일차식은 제외하고, 이해하기 쉽게) 물결모양으로 곡선을 꺾어가는 모형으로 그래프가 표현된다고 보시면 되겠습니다. 자! 위의 방법대로 다항식의 그래프를 이해하셨다면, 최고차의 계수가 양수인 다항식의 경우 앞서 질문하신 물음을 쉽게 답할 수 있습니다. 앞서 생각해본바대로라면 분명 최고차가 짝수이며 양수인 최고차 계수를 갖는 다항식은 그래프의 양쪽 끝이 올라가야함을 알 수 있습니다. 반대로 최고차가 홀수이며 양수인 최고차 계수를 갖는 다항식의 그래프는 반드시 왼쪽 끝이 한없이 아래로 처지는 그림이 되고 오른쪽 끝은 반드시 한없이 상승하는 그림이 되어야 됩니다. 자! 지금부터는 짝수차수와 홀수의 다항식으로 나누어 생각해봅시다. (짝수인 경우) 앞서 말씀드린 데로 이경우의 그래프는 곡선의 양쪽 끝이 위로 한없이 커지는 모형이어야 하므로 하강하던 그래프는 어느점에서간 반드시 치켜올라가야 된다는 것을 알 수 있습니다. 더군다나, 또 앞서 지적한 대로 다항식은 연속이면서 무한번 미분가능한 함수 이므로 그래프는 (이해하기 쉽게) 부드럽게 그려져야하고 바로 이런 이유들로 반드시 그려진 다항식의 그래프가 부분적으로 영문의 U 모양인, 아래에서 위로 부드러운 모양으로 변화되는 곳이 있어야 합니다. 그리고, 바로 이런 부분에서 다항식이 극값을 갖게 되는 것을 알 수 있습니다. 좀더 구체적으로 말씀리면, 최고차가 짝수이며 양수인 실계수를 갖는 다항식은 적어도 하나의 극값을 갖으며 이 경우 극값은 반드시 홀수 개임을 짐작할 수 있습니다. 왜냐면, 번거롭지만 이해를 돕기 위해 반복설명을 해보면, 그래프의 양쪽 끝이 올라가 있는 상태라는 것을 염두해두면, 극소값을 갖는 부분의 그래프 모형은 영문의 U 자 모형이고 극대값을 갖는 모형은 이 영문 U 자를 뒤집은 모형이므로 후자의 경우라면 부분적으로 그래프의 양쪽끝이 처지게 되므로 반드시 다시 들여올려지는 부분이 있어야 하므로 다시 영문 U 자형의 극소점을 갖는 부분이 두군데씩 늘어나는 것을 알 수 있습니다. *****주의 1!!***** 물론 이 경우 설명은 변곡점이 생기는 것은 고려하지 않은 경우이고, 설령 위의 다항식이 변곡점을 갖는 경우라도, 단 하나만의 극값을 갖는 다면 그 값은 반드시 극대값이 아닌 극소값을 가져야 되는 것을 알 수 있습니다. 기본 적인 그래프의 이해문제는 동일한 방법으로 이해될 수 있지만 변곡점을 갖는 다항식의 그래프는 좀 더 많은 설명을 요합니다. 앞서 질문한 내용보다는 깊은 내용이지만, 이 경우에 대한 설명을 한가지만 덧붙인다면, 변곡점이 있는 그래프는 변곡점이 없는 위에서 언급된 모델 그래프들의 극값들이 붙어나타나는 (기형적인) 그래프로 보시면 되겠습니다. 그러나, 이런 현상이 발생한다고 할지라도 여전히 변함없는 것은 최고차가 짝수이며 양수인 실계수를 갖는 다항식의 그래프는 그래프의 양쪽 끝이 한없이 커지는 모형을 해야한다는 것입니다. 너무 설명이 길어서 너저분해지니가 짝수인 경우는 이정도 하지요. (홀수인 경우) 앞서 말한대로 그래프의 왼쪽끝은 한없이 내려가고 오른쪽끝은 한없이 커지는 모양이어야 하므로 1차인 다항식(1 차 이상의 다항식도 직선처럼 곧은 모형은 아니겠지만, 전혀 극값을 갖지 않으면서 이런 부류에 속할 수 있는 경우가 많습니다)을 그려봄으로써 극값을 갖지 않은 경우가 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 짝수차수의 경우에서 설명했듯이, 대략적으로 극소값을 갖는 그래프의 부분은 영문 U 자형, 극대값을 갖는 그래프의 부분은 이 영문 U 자를 뒤집은 모형이여야하는데, 원론적인 홀수차 그래프는 왼쪽이 처지고 오른쪽이 커지는 모형이여야하므로 U 자 형태를 나태내는 곡선의 부분이 있다면 그 곳을 기준으로 반드시 왼편엔 영문 U 의 뒤집은 모형의 부분이 있어야 합니다. (이해되셨죠?) 그러니, 극값을 갖게 된다면 반드시 짝수(극대값과 극소값을 갖은 갯수로)로 갖을 수 밖에 없는 것이구요. ****** 주의 2!! ******** 물론 이 경우도 앞서 말씀드린 짝수차수의 경우처럼 변곡점이 나타나지 않는 다항식의 그래프를 모델로 해서 말씀드린 것입구요. 이런 경우라면 극값들이 붙어져서 (이 극값을 갖게 하는 좌표축 x 위 값들을 기준으로 이 들 x 값들 사이에 편수값 x 를 값는 그래프의 부분은 없애고 원래 그래프가 끊어지지 않도록 연결해 붙인 다고 생각하시면 됩니다) 보시면 되겠습니다. ********* 주의 3 !! *********** 짝수차인 경우나 홀수차인 경우나 경우나 변곡점을 갖게 되는 그래프라도 각 변곡점이 생길때마다 하나의 극대값과 극소값 합해서 두개의 극값이 없어지는 그래프가 그려지는 것이므로 앞서 물으신 물음은 변곡점을 갖지 않는 그래프를 생각하는 것만으로도 충분히 이해되어질 수 있는 내용입니다. **그리고 노파심에 한가지만 더 지적해드리면, 변곡점을 갖는 그래프를 그릴 때 무조건 극값을 갖는 부분의 그래를 붙이면 안됩니다. 일단 짝수개의 극값들을 앞서 말씀드린 방법으로 중간부분의 그래프를 삭제하고 이어붙이기 한다면 반드시 극소값 극대값을 갖는 부분의 수가 일치해야 합니다. +++ 직접 지면에 그려가면서 설명을 드린다면, 훨씬 이해하기에도 수월할텐데.. 여건이 이런니 어쩔 수 없습니다. 여하튼 도움이 됐길 바랍니다. ****************************************************** : 다항함수의 극값에 대한 질문입니다~ : 자세한 설명 좀 부탁드립니다~ : : 왜? 최고차가 짝수인 다항함수는 반드시 극값을 가지며 그 극값은 홀수 개입니까? : : 또, 최고차가 홀수인 다항함수는 극값을 갖지 않을 수도 있고 만약 극값을 가지면 반드시 짝수 개인지... : : 이것은 디딤돌 수학 1 (개정판) 205쪽에 있는 보충학습의 내용입니다. 그런데 받아들여지지가 않아서... : 부탁드립니다~