임의의 삼각형 ABC의 외접원을 그려보고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 하자.
각A의 대변을 a, 각B의 대변을 b, 각C의 대변을 c라 하면,
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R [요게 사인(sin)공식] 요걸 보통 a:b:c = sinA:sinB:sinC 로서 이용하죠.
가장 중요한 건 이를 조금 변형시킨 다음 공식입니다.
a:b:c = sinA : sinB : sinC
(삼각형의 변의 비는, 대각의 사인값의 비와 같다.)
요거걸랑요.
님이 가져오신 문제를 푸는 요령은...
i) a:b:c 를 구한다
ii) sinA:sinB:sinC 를 구한다
iii) sinA, sinB, sinC 중 가장 큰 값이 무엇인지 찾는다
iv) 사인값이 가장 크다면, 가장 큰 각이 무엇인지 알 수 있다.
(예를 들어, 삼각형에서 sinB가 가장 크다면, 각B가 가장 크다.)
v) 제2코사인공식을 이용하여 가장 큰 각의 cos값을 구한다.
vi) cos값을 구했으면, 각의 크기를 구한다.
이 순서대로 접근하는 방법이 가장 쉬운 것 같습니다.
(단, ii,iii,iv의 과정은, 문제 유형이 일단 익숙해지면 생략하고 풀기도 합니다. 즉 i)을 풀고 곧바로 v)로 넘어가기도 하죠.)
그런데 문제에는 (b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6 라고 나와 있지만,
a:b:c 의 값이 주어지지는 않았거든요. 그러니까 적당히 변형해서
a:b:c 의 값을 찾아내야합니다
(a:b:c를 알아야지 sinA:sinB:sinC를 알 수 있으니까요)
여기서 a:b:c 의 값을 찾는 방법은 여러가지가 있겠지만,
(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6 에서,
b+c=4k, c+a=5k, a+b=6k로 설정하고 푸는 게 쉬울 듯 하네요.
그러면, 만들어진 세 식을 모두 더하면
(b+c)+(c+a)+(a+b) = 4k + 5k +6k
따라서 2a + 2b + 2c = 15k 따라서 a+b+c=15/2 k
흠... 그럼...
b+c=4k 니까... a+(b+c)=15/2 k 를 이용해서...
a+4k = 15/2 k 죠... a=7/2 k 가 되겠고...
c+a=5k 니까... a+b+c = (c+a)+b = 15/2 k 를 이용해서...
5k + b = 15/2 k 죠... b=5/2 k 가 되겠고...
a+b=6k 니까... (a+b)+c = 15/2 k 를 이용해서...
6k + c = 15/2 k 죠... c=3/2 k 가 되겠고...
따라서... a:b:c = 7/2 k : 5/2 k : 3/2 k = 7:5:3 이 되겠죠.
따라서 sinA:sinB:sinC = 7:5:3 이 됩니다.
그러므로, 삼각형에서는 sin 값이 가장 큰 각이 가장 크니까...
A,B,C중에서 각A가 가장 큽니다. 따라서 우리는 각A를 구해야 합니다.
제 2코사인 공식을 써야 하는데...
이 공식은
삼각형ABC에서 각A의 대변을 a, 각B의 대변을 b, 각C의 대변을 c라 할 때,
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
b^2 = c^2 + a^2 - 2ca cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC
입니다. 피타고라스 정리를 유념해 두고 외우면 좋죠.(제2코사인정리의 특수한 경우가 피타고라스정리입니다. 각이 직각이라 cos값이 빼지지 않는 경우 말이죠.)
cosA를 구하려면 제2코사인법칙 중에 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
이거 하나만 사용하면 되겠지요~
앞에서 a:b:c=7:5:3 를 구했으니, a=7m, b=5m, c=3m 이라 합시다.
(물론, a=7, b=5, c=3 이라 놓고 풀어도 여기선 관계 없습니다.)
(7m)^2 = (5m)^2 + (3m)^2 - 2(5m)(3m) cosA
따라서 cosA = -1/2 가 됩니다.
코사인함수 그래프를 그려보면, A=120도 또는 240도 가 되는데,
A는 삼각형의 내각이니 0도보다 크고 180도보다는 작아야 하니까
A=120도가 됩니다.
끝까지 읽어주셔서 감사합니다.
틀린 부분 있다면 알려주세요