케일리-해밀턴 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않지만 굳이 성립하는 경우를 찾는다면
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
에서 a=d ,b=c=0, A=kE 인 조건을 만족해야 합니다.
위에서 만약 a,b,c,d 를 실수로 제한한다면 k 도 실수로 제한됩니다.
케일리-해밀턴 정리는 일반적으로 A 가 nxn 행렬이고,A 의 성분은 복소수라고 해도 성립하지만 여기선 2x2 ,그것도 A 의 성분이 실수인 상황만을 고려하면 이렇습니다.
2x2 행렬 A=(a,b,c,d) 라면 무조건 다음의 관계식이 성립한다.
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
여기서 tr(A) = a+d , 즉 A 의 대각성분을 모조리 더한 것입니다. 이것을 전문 용어로 trace 라고 하고 tr(A) 라 표기합니다. 그리고 det(A) 는 A 의 행렬식,즉 ad-bc 입니다.
역이 성립하지 않는 이유는 trace 와 행렬식이 같은 2x2 행렬은 같은 케일리-해밀턴 관계식을 가지기 때문입니다. 그래서
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
를 만족하는 A 는 유일하지 않으며 무수히 많습니다. 그 많은 A 중에 A=kE 인 꼴은 반드시 찾을 수 있습니다. 여기서 k 는 복소수입니다. k 가 실수라고 제한되면 A=kE 인 꼴이 반드시 있다고 할 수 없습니다. 이게 A=kE 인 경우와 A≠kE 인 경우로 나누어 생각해보는 이유입니다.
그 k 는 다음으로 구합니다.
A=kE 라면 대입하여
k²-tr(A)*k +det(A) = 0
를 만족하는 모든 k 는 A=kE 에서 k 의 값이 되겠습니다. 여기서 일반적으로 k 는 복소수가 되겠죠.
이차방정식의 판별식이 0 이라면 k 는 유일합니다.
즉 , (tr(A))² -4det(A) = 0
를 만족하는 상황에선 A=kE 를 만족하는 k 는 하나 있습니다.
이 시점에서 만약
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
를 만족하는 A 가 유일하다면 그 조건은 어떤 것이 있는가란 질문을 하게 됩니다. 그에 대한 한가지 답은
A=kE 의 꼴이며 (tr(A))² -4det(A) = 0 를 만족하면 된다가 되겠습니다. 즉 어떠한 2x2 행렬이라도 A=kE 의 꼴이며 (tr(A))² -4det(A) = 0 를 만족하면
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
가 성립하는 동시에 역으로 이거를 만족하는 A 는 유일합니다. 다시
A=(a,b,c,d) 이면 무조건
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
가 성립하고 ,
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
이면 무조건 A=(a,b,c,d) 이기 위해선 ,즉 역이 성립하기 위해선 가능한 조건이 유일한 조건에 의해
A=kE 의 꼴이여야 하고 ,
(a+d)² -4(ad-bc) = 0 ==> (a-d)² +4bc = 0 이어야 하는데
A=kE 인 폼을 고려한다면 a=d =k ,b=c =0 이어야 합니다.
그래서 역이 성립하려면 a=d,b=c=0 이고 A=kE ( k 는 실수) 이어야 합니다. 이거는 역이 성립하는 한가지 조건입니다. 역이 성립하는 다른 조건은 있는가?
찾으면 있습니다. 예를 들어 A(1,1) 성분은 a 이며 A(2,2) 성분은 b 이다 란 조건만 붙여주면 됩니다. 이렇게 구차하게 역이 성립하는 조건을 찾으려면 얼마든지 찾을 수 있습니다. 하지만 역시 역이 성립하는 조건을 찾는 것은 모두 구차합니다. 일반적으로 역은 성립하지 않는다라고 받아들이는 것이 가장 좋습니다.
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
에서 a=d ,b=c=0, A=kE 인 조건을 만족해야 합니다.
위에서 만약 a,b,c,d 를 실수로 제한한다면 k 도 실수로 제한됩니다.
케일리-해밀턴 정리는 일반적으로 A 가 nxn 행렬이고,A 의 성분은 복소수라고 해도 성립하지만 여기선 2x2 ,그것도 A 의 성분이 실수인 상황만을 고려하면 이렇습니다.
2x2 행렬 A=(a,b,c,d) 라면 무조건 다음의 관계식이 성립한다.
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
여기서 tr(A) = a+d , 즉 A 의 대각성분을 모조리 더한 것입니다. 이것을 전문 용어로 trace 라고 하고 tr(A) 라 표기합니다. 그리고 det(A) 는 A 의 행렬식,즉 ad-bc 입니다.
역이 성립하지 않는 이유는 trace 와 행렬식이 같은 2x2 행렬은 같은 케일리-해밀턴 관계식을 가지기 때문입니다. 그래서
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
를 만족하는 A 는 유일하지 않으며 무수히 많습니다. 그 많은 A 중에 A=kE 인 꼴은 반드시 찾을 수 있습니다. 여기서 k 는 복소수입니다. k 가 실수라고 제한되면 A=kE 인 꼴이 반드시 있다고 할 수 없습니다. 이게 A=kE 인 경우와 A≠kE 인 경우로 나누어 생각해보는 이유입니다.
그 k 는 다음으로 구합니다.
A=kE 라면 대입하여
k²-tr(A)*k +det(A) = 0
를 만족하는 모든 k 는 A=kE 에서 k 의 값이 되겠습니다. 여기서 일반적으로 k 는 복소수가 되겠죠.
이차방정식의 판별식이 0 이라면 k 는 유일합니다.
즉 , (tr(A))² -4det(A) = 0
를 만족하는 상황에선 A=kE 를 만족하는 k 는 하나 있습니다.
이 시점에서 만약
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
를 만족하는 A 가 유일하다면 그 조건은 어떤 것이 있는가란 질문을 하게 됩니다. 그에 대한 한가지 답은
A=kE 의 꼴이며 (tr(A))² -4det(A) = 0 를 만족하면 된다가 되겠습니다. 즉 어떠한 2x2 행렬이라도 A=kE 의 꼴이며 (tr(A))² -4det(A) = 0 를 만족하면
A² -tr(A)*A +det(A)*E=0
가 성립하는 동시에 역으로 이거를 만족하는 A 는 유일합니다. 다시
A=(a,b,c,d) 이면 무조건
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
가 성립하고 ,
A² -(a+d)A +(ad-bc)E=0
이면 무조건 A=(a,b,c,d) 이기 위해선 ,즉 역이 성립하기 위해선 가능한 조건이 유일한 조건에 의해
A=kE 의 꼴이여야 하고 ,
(a+d)² -4(ad-bc) = 0 ==> (a-d)² +4bc = 0 이어야 하는데
A=kE 인 폼을 고려한다면 a=d =k ,b=c =0 이어야 합니다.
그래서 역이 성립하려면 a=d,b=c=0 이고 A=kE ( k 는 실수) 이어야 합니다. 이거는 역이 성립하는 한가지 조건입니다. 역이 성립하는 다른 조건은 있는가?
찾으면 있습니다. 예를 들어 A(1,1) 성분은 a 이며 A(2,2) 성분은 b 이다 란 조건만 붙여주면 됩니다. 이렇게 구차하게 역이 성립하는 조건을 찾으려면 얼마든지 찾을 수 있습니다. 하지만 역시 역이 성립하는 조건을 찾는 것은 모두 구차합니다. 일반적으로 역은 성립하지 않는다라고 받아들이는 것이 가장 좋습니다.
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