삼각형 ABC 가 있고 점 P가 있다.
선분 PA의 제곱 + 선분 PB의 제곱 + 선분 PC의 제곱이 최소가 되게
점 P의 좌표를 구하여라.
점A, 점B, 점C의 좌표를 (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)이라 하고
점P의 좌표를 (x,y)라 하면,
선분 PA의 제곱 + 선분 PB의 제곱 + 선분 PC의 제곱
=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(x-x₂)²+(y-y₂)²+(x-x₃)²+(y-y₃)²
전개해서 정리하면
3x²-2(x₁+x₂+x₃)x + x₁²+x₂²+x₃² + 3y²-2(y₁+y₂+y₃)y + y₁²+y₂²+y₃²
x에 관한 2차함수와 y에 관한 2차함수의 합으로 보면,
각각의 함수는 꼭지점에서 최소값을 가지므로
∴x=(x₁+x₂+x₃)/3, y=(y₁+y₂+y₃)/3일 때, 즉 무게중심에서 최소값을 갖는다.
선분 PA의 제곱 + 선분 PB의 제곱 + 선분 PC의 제곱이 최소가 되게
점 P의 좌표를 구하여라.
점A, 점B, 점C의 좌표를 (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)이라 하고
점P의 좌표를 (x,y)라 하면,
선분 PA의 제곱 + 선분 PB의 제곱 + 선분 PC의 제곱
=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(x-x₂)²+(y-y₂)²+(x-x₃)²+(y-y₃)²
전개해서 정리하면
3x²-2(x₁+x₂+x₃)x + x₁²+x₂²+x₃² + 3y²-2(y₁+y₂+y₃)y + y₁²+y₂²+y₃²
x에 관한 2차함수와 y에 관한 2차함수의 합으로 보면,
각각의 함수는 꼭지점에서 최소값을 가지므로
∴x=(x₁+x₂+x₃)/3, y=(y₁+y₂+y₃)/3일 때, 즉 무게중심에서 최소값을 갖는다.
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