수열-급수-급수의 극한

[계단길]

an < bn ............1)

∑an < ∑bn ...........2)

lim∑an ≤ lim∑bn ..........3)

이라고 하던데요

3)번이 잘못되지 않았나요?

예를 들어

an= 1, 1/2, 1/4, 1/8,..................

bn=2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, .............. 이라고 했을때

당연히 수열은 an이 작구요
급수를 취해도 an이 작구요
무한급수를 취해도 역시

an=1/1-1/2 = 2

bn=2/1-1/2= 4 가 되어 등호가 들어가지 않아야 할거 같거든요........


왜 등호가 들어가는 걸까요?

이상합니다

감사합니다 (__)

[MSerenity]

3번 등호가 들어갈 수 없습니다. cn=bn-an이라고 하면, bn>an이므로 cn>0이 됩니다. 그러면, sn=∑cn이라 하면 sn은 증가수열이고, 여기서 lim∑sn은 0이 될 수 없습니다. 그런데, lim∑an+lim∑cn=lim∑bn(각 리미트가 수렴한다고 가정한다면)이므로, lim∑an=lim∑bn이 되려면 lim∑cn=0이어야 하므로 모순입니다.

[MSerenity]

물론, 둘다 발산하는 경우도 있겠지만, 그건 보통 등호로 표시하지는 않죠 =ㅁ=