정수론-증명문제(추가)

[율럼]

1. 200부터 500까지의 정수 중에서 3의 배수와 3^2의 배수와 3^3의 배수의 개수가 각각 몇개씩 있는지 알아보아라.

2. 함수 f(x) = [x[x]]에 대한 <보기> 의 설명 중 옳은 것을 모두 고른것은? [수능2002]

 ㄱ f(x)= -1이 되는 x는 존재하지 않는다.

 ㄴ 자연수 n에 대하여 집합 (f(x)ㅣn≤x<n+1)의 원소의 개수는 n개다

 ㄷ 자연수 n에 대하여 집합 (f(x)ㅣ-n≤x<-n+1)의 원소의 개수는 n+1개이다.

3. a≡7(mod5)   b≡11(mod5)   c≡4(mod5)일때 (a+2b) x  (b-c)을 5로 나눈 나머지를 구하시오.

4. 모든 양이 정수 n에 대하여 2^2n-1≡9n^2-3n+2 (mod54) 이 성립함을 보여라.

5. 방정식 a^2+b^2-8c=6은 정수해가 없음을 보여라.

6. 모든정수 n에 대하여 n^2+2n+12는 121의 배수가 아님을 보여라.

7. 2^n+1이 3의 배수가 되는 모든 양의 정수 n을 구하여라.

8. 2^n-1이 7의배수가 될 수 있지만 2^n+1이 7의 배수가 되는 양의 정수 n은 존재하지 않음을 보여라.    < 이 문제가 특히 어려움 -ㅁ->

9. 다음 성질을 만족하는 자연수 a가 무한히 많음을 보여라 : 모든 자연수 n에 대하여,

 n^4+a는 소수가 아니다. (1969 국제 수학올림피아드)

고등학생이라 그러니 쉽게 설명해주세요

[아리까리]

7/ n이 홀수면 되네요...짝수면 나머지가 2. 홀수면 3의 배수가 됩니다..2=3k-1 로 보면 쉽게 이해가 될듯요.

[아리까리]

1>>1에서 500까지의 9의 배수와 27의 배수 계산한 다음 199까지의 9의 배수와 27의 배수 빼주면...

[아리까리]

3> a==2, b==1, c==-1 이므로 준식=(2+2)(1+1)==8==3 (mod 5)

[수물화금짱]

1번 (1~500까지의 개수)-(1~199까지의 개수)...2번 [x[x]]≥0 임을 증명하고 가우스 기호의 성질 이용하고...3번 적당한 수를 넣으면 되고요...5번 mod를 이용하시고..6번 (n+1)^2+11로 고쳐서 풀고...7번 역시 mod를 이용..8번도 mod를...4, 9번은 좀 고민을 해봐야겠군요..