계수

[그냥 사람]

(2+x)+(2+x)²+(2+x)³+(2+x)⁴......(2+x)^10 에서 x²의 계수를 구하라.

사실원래문제는 2+x에서 2가 1인대 한번바꿔봤습니다..

바꾸니까 잘안풀리더군요.. 제가 풀려고 한 방법은 위 식을 등비수열 합공식을이용해서

(x+2)^11-(x+2)/x+1 로 고쳐서 (x+2)^11-(x+2)=a0(x+1)+a1(x+1)x+a2(x+1)x^2+a3(x+1)x^3....으로 나타낸다음 항등식이니까

x=0 대입하면 a0값이 나오고 양변은 x로 미분해서 11(x+2)^10-1=a0+a1(2x+1)+a2(3x^2+2x).....x에 0을 대입하면 a0+a1값이

나오고 또 미분해서 값구해서 하고 해서 a0 a1 a2를 다구하면 (x+2)^11-(x+2)=a0(x+1)+a1(x+1)x+a2(x+1)x^2+a3(x+1)x^3....에서

양변을 x+1로 나누면 젤처음하던거니까 결국 a2가 x^2의 계수가 되는건대

좀더 간단한 방법이 없을까요?

[밝히리]

대학교에서 테일러 전개를 배우면,
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ....
와 같이 나타낼 수 있을 때, an = fⁿ(0)/n! 이란 것을 알게 됩니다.
여기서 fⁿ(x) 는 f(x)를 n 번 미분한 도함수를 뜻합니다.

[그냥 사람]

감사합니다.