일반적인 풀이는 아니지만서두.. 이런 풀이법도 있습니다.
f(x+y)=f(x)f(y)
양변을 y 에 관해서 미분합니다.
f'(x+y)=f(x)f'(y)
y=0 을 대입합니다.
f'(x)=f(x)f'(0)
여기서 f'(0)=k 로 두면,
f'(x)/f(x)=k
양변을 적분하면,
ln|f(x)| = kx + c
첫번째 식에 x=y=0 을 대입하면, f(0)=1 따라서 c=0
고로, f(x)=e^kx = a^x
만약 f(x+y) 대신 f(xy) 가 포함될 경우, y 에 관해 미분하고 y=1 을 대입하면 댑니다...
--------------------- [원본 메세지] ---------------------
위와 같은 함수방정식을 코시함.방.이라고 한답니다.
코시함방에는 그외에도 f(x+y)=f(x)+f(y) , f(xy)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y)가 있습니다.
f(x+y)=f(x)f(y)-------#1
먼저 y=0을 대입하면 f(x)=f(x)f(0)----#2
#2에 x=0을 대입하면 f(0)=f(0)^2 -----#3
여기서 만일 f(0)=0이면 #2에서 f(x)=0---해 하나 쉽게 구함!
f(0)가 0이 아니면 #3에서 f(0)=1------#4
#1에서 y를 x로 대체하면(x,y의 임의성때문에 가능)
f(2x)=f(x)^2 2x로 대체하면 f(3x)=f(x)^3
따라서 f(nx)=f(x)^n (n은 자연수)------#5 ===>귀납법으로 쉽게 증명
한편 #1식에서 y를 -x로 대체하면
f(0)=f(x)f(-x)--------#6
여기서 f(a)=0인 a가 존재한다면
#1식의 y에 a를 대입한 결과가 f(x+a)=0이고 이 식은 x의 임의성에 의해 f(x)=0이라는 뜻
이것을 피하기 위해 f(x)=0이 되는 x가 존재하지 않는다고 하면
#6식에서 f(-x)=f(x)^-1----#7
#7에서 x를 nx로 대체하면 f(-nx)=f(nx)^-1=f(x)^(-n)---#8
#5,8,4에 의해 f(mx)=f(x)^m (m은 정수)---#9
x=n/m 이라 놓으면 m*x=n*1 양변에 f를 취하면 f(m*x)=f(n*1)
#9에 의해 f(m*x)=f(x)^m f(n*1)=f(1)^n
즉 f(x)^m=f(1)^n
즉f(x)=f(1)^(n/m)
x를 n/m으로 돌려놓고 f(1)=a로 놓으면
f(n/m)=a^(n/m)
즉 f(x)=a^x (x는 유리수)
여기까지고요..
f가 연속이면 실수범위까지 확장됩니다.
즉 위의 함수방정식의 해는 f(x)=0 또는 f(x)=a^x [단 a=f(1)]