[수학원리]삼차식으로 나눌 때의 나머지정리..

[도리아빠]

작년 이맘때쯤에 다른 카페에서 글을 올릴 때, 그곳 회원분의 자녀분(고1)이 나머지정리에 관한

문제를 물어온 적이 있었습니다..

나머지 정리에 대한 글이 올라온 것을 보니, 작년 생각이 잠깐 났습니다..

그런데 글을 보니, 작년에 물어온 아이와  문제는 약간 다른데 같은 부분을 이해 못하고 있네요..

아마 대부분 <삼차식 나머지정리>에서 아이들이 좀 걸리는 모양입니다..

사실 걸리는 부분은 고1수학의 나머지정리가 문제 되는 것이 아니라, 초등학교 에서 배우는 나눗셈

단원 중 나눗셈의 몫과 나머지 에 대하여 공부할 때 원리적 접근이 아니라 연산 연습식의 접근으로

굳어진 머리 때문이지 않을까 생각합니다..

나머지정리 라는 건 간단히 나눗셈을 하지 않고도 나머지를 쉽게 찾아낼 수 있는 정리를 말합니다..

일반적 정수(피제수)A를 B(제수)로 나누었을 때 몫을 Q라 하고 나머지를 R이라 하면 수식은

A=BQ+R 입니다..(단 0≤ R <B)

23을 5로 나누면 몫이 4이고 나머지는 3 이지요.. 23=5*4+3 이되고요..

요기서 주의할 점이 바로 나머지 R 입니다..

나머지 R은 R= 0,1,2,…B-1 중에서 어느 한 값을 갖는다는 것이지요..

그래서 R의 조건은 0≤ R <B 이며 항상 0 보다 크거나 같고, 제수 B보다는 작아야 합니다..

만약 R 이 제수(나누는 수)인 B와 같거나 크다면 다시 R을 B로 나누어주어야지요..

초등수학으로 하면 23=5*3+8 이 나왔으니 나머지 8을 다시 제수인 5로 나누어 8=5*1+3 을 해야

한다는 것 입니다..

여기에서 23을 한번 5로 나누었는데 나머지 8이, 제수인 5보다 크니 다시 제수인 5로 나누어 주어

나머지 3을 만들면 23의 나머지와 같아 집니다..

바로 요 부분이 고1수학의 나머지정리 에서 아이들이 걸리는 부분 입니다..

이제 고1이라면 “아하~뭘 놓치고 있는지 알겠다” 할거예요..^^..

아직도 모르겠다면 그건 여지 것 수학을 암기식으로 해온거예유..-_-..!!!

작년에 저에게 물어본 문제를 예로 들어서 하겠습니다..

문의글에 올라온 문제랑 거의 흡사(숫자와 부호만 틀리네요..^^..)합니다..

문제> 다항식 f(x) 를 (x-1)²으로 나눈 나머지는 2x+1이고, x+1으로 나눈 나머지는 3이다,

          여기서 f(x) 를 (x-1)²(x+1)으로 나눈 나머지를 구하여라..   답 : x² +2

    이말은 f(x) 를 (x-1)²(x+1) 로 나눈 몫 Q , 나머지 R 에서 R을 찾아라 인데, 이걸 간단히 하면

    f(x) = (x-1)²(x+1) * Q + R  이라는 거고, (x-1)²(x+1) 는 삼차식 이라는걸 알 수 있습니다..

    따라서 R 은 이차 이하의 다항식 이라는 말이지요..^^..

    중요 : 제수(나누는수) 가 삼차식이면 나머지는 이차식

   (왜 이렇게 되는 지는 앞에서 배운 다항식의 나눗셈으로 노가다 해보길..^^..)

    이차식의 기본 형식은 ax² + bx + c (상수를 모르기에 만든, 아무 의미 없는 그냥 이차식 기본형)

    이므로 f(x) = (x-1)²(x+1) * Q + ax² + bx + c 입니다..( R= ax² + bx + c)

    그런데 f(x) = (x-1)²(x+1) * Q + ax² + bx + c 중에서 앞부분 (x-1)²(x+1) * Q 는 전부 곱하기 이니

    당연히 문제의 첫조건의 제수 (x-1)²로 나누어 떨어집니다..

    그렇다면 나머지 뒷부분인 ax² + bx + c 요놈이 나머지 R 이기만 하면 되는데 문제는 지금 앞에 놈,

    나누어준 제수 (x-1)²와 같은 이차식 이라는 거지요..

    그래서 ax² + bx + c를 다시 제수인 (x-1)² 으로 나누어 주어야만 합니다..

    (왜그러냐고요..-_-..!! 위의 초등단계인 나눗셈 정리 A=BQ+R ..(단 0≤ R <B) )

    또한 23=5*4+3 에서 23의 나머지 3은, 23=5*3+8 으로 했을 때 나온 나머지 8을 다시 제수 5로

    나누어주고 남은 나머지 3 (8=5*1+3) 과 같습니다..

    따라서 f(x) 는  (x-1)² 로 나눈 나머지 뒤부분인 ax² + bx + c 를 (x-1)²로 나눈 나머지와

   같다, 입니다..(왜냐고..위에 8로 예를 들었어요..초등식)

    그래서 나누어보면 ax² + bx + c= (x-1)² * A + 2x+1 가 됩니다..(여기서 A 는 그냥 상수,

   앞의 Q와 헷갈릴까 봐서..)

    그러므로 f(x) = (x-1)²(x+1) * Q + (x-1)² * A + 2x+1 입니다..이젠 다 되었지요..^^..

    두번째 조건 f(x) 를 x+1 로 나눈 나머지가 3 이므로 f(-1)= 4A-1=3 이므로  A=1, 따라서 구하고자

    하는 나머지(R) = (x-1)² * A+ 2x+1 = (x-1)² + 2x+1 = x²+ 2 (답)

사실 대부분의 아이들이 헷갈려 하는 부분이 위의 ax² + bx + c= (x-1)² * A + 2x+1 인데  여기서

a 와 A 와는 아무 관계 없습니다..

또한 이건 그냥 초등수학의 나눗셈 A=BQ+R 입니다..

그리고 나눗셈에서의 몫과 나머지 에서 나머지는 제수(나누고자하는 수 B) 보다 절대로 클수 없다,

요걸 좀 잊어먹어서..^^..

<나머지정리>는 제수(B)가 일차식 일때만 이용할 수 있다.

제수(B)가 이차식 이상 일때는 A=BQ+R 를 이용 해야 한다.

R 은 제수(B) 보다 작아야한다. (0≤ R <B)

제수(나누는수) 가 삼차식이면 나머지는 이차식 이다.

일차식으로 인수분해된 식으로 나눌때는 나머지정리를 연속으로 이용하여 구한다.

제가 게시판에 올라온 나머지정리 문제를 즐거운세상님께서 깔끔하게 풀이를 해주셨는데 비슷한

문제로 이리 주구장창 어지럽게 적은 이유는 사실 지금부터 적고자 하는 내용 때문 입니다..

고1수학을 공부하며 어려워하거나 걸리는 곳이 있는 경우의 대부분은 사실 고1수학이 어려워서

라기 보다, 초등과 중학에서 배운 내용을 정확히 알고 있지 못하거나, 시간이 지났다고 잊어먹고

있었기 때문입니다..

고1수학 교재나 해답지에 이런 부분이 잘 않 나와 있는 이유는 당연히 초등과 중학부분이니 알

것이다 하고 넘어가기 때문이지요..

해답지나 교재의 설명이 빈약하기 보다는 아래학년에서 다루는 내용이기에 건너 뛴 것 입니다..

조금 더 생각해보며, 내머리 속 어딘가에 있는 지금 것 배운 것들을 끄집어 내어 활용한다면 그리

어렵지 않게 접근할 수 있습니다..

가능한 개념과 정리, 공식들은 왜그렇게 되는지를 꼭 증명과 유도를 해보며 이해하고 넘어간다면

수학을 보는 눈이 깊고 넓게 될 거예요..

나머지정리만 하더라도 실질적으로 중학생을 대상으로 하는 경시에 가끔 출제되는 문제 입니다..

고1수학을 배우지 않았어도, 초등과 중학수학을 잘 이용하면 풀 수 있다는 것이지요..

또한 나머지정리를 이용한 극한문제는 고교모의고사와 수능에 자주 출제되니 꼭 정확히 이해하고

넘어 가게 해주어야 합니다..화~이~팅..!!

[즐거운세상]

헤~ 예비고 문제가 첨 올라와서.. 어떤 문제일까 궁금해서 걍 열어보았다가.. 말씀대로 초등 나눗셈원리와 중학 인수분해만으로 풀어지는 문제더라구요... 그래서 걍 줄줄이 풀이를 써본거예요..^^;; 그러면서 다시 한 번 더 선행보다 심화를~ 하라는 말씀에 고개를 끄덕이고~^^
그런데 도리아빠님,, 수학의 원리해설 책을 내시면 정말 좋겠습니다.^^*

[도리아빠]

에고~~별말씀을요..
사족이 될듯해서 넘어갈려다, 작년생각이 나서..^^..
주의를 한번 더 주자는 의미로..ㅎㅎ..

[다다네]

울딸 보고 보라해야지.....지는 몰라유!!!

[도리아빠]

ㅎㅎ..다다네님은 안풀어보셔두 되유~~..^^..