[재미있는수학]3대 작도 불가능 문제..(1)..

[도리아빠]

요건 우리 둘째가 여름방학 방과후 강제반에서 지난주에 알아오라는 숙제로 내준 부분인데 작년에

큰놈 2학기 도형 들어갈 때 수행평가로 조사해 갔던 부분이기도 해서 아마 중1에서 수행평가로도

내줄 수 있겠다 싶어 올립니다..

이 3대 작도 불가능 문제는 몇 년전 대학 수리논술에 출제된 적도 있지만 워낙 유명한 수학문제이니

고등학생은 한번 증명해보는 것도 괜찮을 듯싶습니다..

고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제로 3대 작도 불가능 문제(３大作圖不可能問題)라는

것이 있습니다..

오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지

문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명이 되었지요..

세 가지 문제는 다음과 같다.

1) 주어진 각을 삼등분 하는 문제

2) 주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제

3) 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

1) 주어진 각을 삼등분 하는 문제 (불가능)

주어진 각을 자와 컴퍼스로 항상 이등분할 수 있다는 것은 알고 있습니다..

그렇다면 삼등분각은 어떨까요.?..

이문제의 증명은 고등학교에서 배우는 삼각함수이기 때문에 중학생이 이해하기는 좀..^^..

예를 들어 90°를 삼등분 하라는 것은 30°를 작도할 수 있느냐는 문제 것인데 cos(30°)가 작도수 이냐는

것과 동일한 문제입니다..

그런데 cos(30°)= √3/2은 작도수임을 알고 있고, 따라서 90°는 삼등분할 수 있다는 결론이 나옵니다..

90°만 삼등분할 수 있을까요.?..

90°를 계속 이등분해서 얻는 각인 45°, 22.5°, 11.25°,..등도 모두 삼등분할 수 있습니다..

이미 작도한 30°를 이등분해서 15°, 7.5°, 3.75°, …등을 얻을 수 있기 때문입니다..

따라서 삼등분할 수 있는 각은 무한히 많다 입니다..

그렇다면 60°는 삼등분할 수 있을까요.?..

그러려면 cos(20°)가 작도수 인지 알아야 합니다..

일반적으로 x=cos(A/3)는 3차 방정식 4x^3-3x-cos(A)=0의 근인데, 예를 들어 삼각 함수의 덧셈 정리를

쓰면 금세 증명할 수 있습니다.

따라서 cos(20°)는 3차식 8x^3-6x-1=0의 근 입니다..

이 3차식은 유리계수 1차식과 2차식의 곱으로 인수분해 할 수 없으므로, 60°는 “자와 컴퍼스만으로는

삼등분할 수 없다!..” 즉 20°와 40°는 작도할 수 없는 각이며, 따라서 정9각형도 작도할 수 없습니다..

각의 삼등분 문제는 절대값이 1인 임의의 복소수의 삼중근을 구하는 문제와 같으므로, 일반적으로 눈금

없는 자와 컴퍼스를 이용하여 작도할 수 없습니다..

종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분 하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금

없는 자와 컴퍼스를 이용한다는 문제의 조건에 어긋나게 되지요..

이 문제는 프랑스의 수학자 피에르 웬첼(Pierre Wantzel)이 1837년에 60도를 삼등분 하는 작도가

불가능함을 보임으로써 끝이 났습니다..

삼등분이 가능한 각은 무한히 많습니다.. 그러나 삼등분이 불가능한 각도 무한히 많습니다..

따라서 임의로 주어진 각을 3등분 하는 것은 불가능 합니다..

직각을 비롯한 무한히 많은 각을 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 있지만, 한편 자와 컴퍼스만으로

삼등분할 수 없는 각 또한 무수히 많다는 뜻 입니다..

하지만 주어진 각을 삼등분 하는 것이 작도가 가능하다고 주장하는 사람들이 있는데 그들을 삼등분가

라고 부릅니다..

좀 긴~~관계로 나누어서 올리겠습니다..^^..

[즐거운세상]

삼등분가들의 주장도 궁금하네요.^^ 근디 2,3번도 복잡한 증명이 필요한가요? 걍 생각해도 불가능인 것 같은데.. 세제곱수~ 파이~ 아무튼 서울은 방학숙제도 고차원이네요. 여기는 박물관관람, 독후감, 일상속의 과학.. 뭐 이런 것들인데....-.-

[도리아빠]

삼등분가 주장을 좀 읽어 봤는데 이해가 더안되요..-_-.;;

[블루칩]

저희 아이 수학숙제는 테셀레이션 만들기더라구요
알아보니 도형에 대해 사고하고 만드는거 같던데
아이는 아무 생각없이 쓰슥 그려버리더라구요 --;

[도리아빠]

ㅎㅎ..테셀레이션은 예술적 감각 뿐아니라 수학적 감각에도 많이
도움이 되지요..^^..
여러 모양으로 해보라 해보세요..^^..