제가 알기로는, 우리가 배운 고등학교 수학수준에서는
0/0꼴정도 증명이 가능합니다. (선생님이 해주신 증명이요)
그 이외의 ∞/∞꼴 등은 대학수학에 가서야 배웁니다.
참..어렵다죠-_-;; 그래도, 인터넷을 뒤져보니. 나와서 올립니다.
-_-/시작
코시의 평균값 정리를 써서 증명하는 것이 가장 쉽고,
정확하게는 입실론-델타 논법을 써서 증명해야 합니다.
코시의 평균값 정리는,
평균값 정리를 일반화한 것입니다.
구간 [a,b] 에서 연속이고 (a,b) 에서 미분가능한 함수
f(x), g(x) 에 대해,
f(b)-f(a) : g(b)-g(a) = f'(c) : g'(c) 인
c 가 열린 구간 (a,b) 안에 존재한다는 것이죠.
h(x) = (f(b)-f(a))g(x) - (g(b)-g(a))f(x)
에 대해 h(a)=h(b) 이므로,
평균값 정리를 쓰면 증명이 됩니다.
따라서...
f(x)/g(x) = f(y)/g(x) + (1 - g(y)/g(x)) f'(c)/g'(c) 가 되고,
lim_(x->a) f'(x)/g'(x) = m 이라고 하면,
f(x)/g(x) - m = f(y)/g(x) + (1 - g(y)/g(x))(f'(c)/g'(c) - m)
- g(y)/g(x) m 이 됩니다.
x, y 가 모두 a 에 가까우면,
|f(x)/g(x) - m| <= |f(y)/g(x)| + |(1 - g(y)/g(x))| ε + |g(y)/g(x) m| (**)
이 되고,
양변에 x->a 를 취하면,
lim f(x)/g(x) - m = 0 이 됩니다.
(왜냐하면 g(x) --> oo 가 원래 가정이므로...)
만일 f(x), g(x) --> 0 인 경우(즉, 0/0 꼴이면)
(**) 에서 y -> a 를 취해서
로피탈의 정리를 증명합니다.
예외) 로피탈을 쓰지 못합니다
[답변] 로피탈의 법칙의 예외(?) whiz
흔히들 로피탈의 법칙을 오해하고 있지요.
그 중의 대표적인 오해가
f'(x)/g'(x) 의 극한값이 f(x)/g(x) 의 극한값과 같다는 거죠.
위 사실은 f'(x)/g'(x) 의 극한값이 유한일 때는 참이지만,
(그것이 로피탈의 정리의 결과이고요)
f'(x)/g'(x) 의 극한값이 발산할 때는 참이 아닐 수 있습니다.
위의 문제가 그런 경우라고 할 수 있습니다.
옳은 풀이는
lim_{x→0} { x/sin x * (x sin(1/x)) } = 1 * 0 = 0
입니다.
로피탈의 법칙을 잘 못 쓰면,
다음과 같은 틀린 생각들을 하게 됩니다.
f 가 미분가능하고, f(0) = 0 일 때
f'(0) = lim_(x→0) f(x)/x = lim_(x→0) f'(x)/1
라고 생각한다는 거죠.
이는 f'(x) 가 x=0 에서 연속이라는 사실을 의미하고 있지요.
그렇지만 아시다시피 f'(x) 가 연속함수가 될 이유는
전혀 없습니다.
0/0꼴정도 증명이 가능합니다. (선생님이 해주신 증명이요)
그 이외의 ∞/∞꼴 등은 대학수학에 가서야 배웁니다.
참..어렵다죠-_-;; 그래도, 인터넷을 뒤져보니. 나와서 올립니다.
-_-/시작
코시의 평균값 정리를 써서 증명하는 것이 가장 쉽고,
정확하게는 입실론-델타 논법을 써서 증명해야 합니다.
코시의 평균값 정리는,
평균값 정리를 일반화한 것입니다.
구간 [a,b] 에서 연속이고 (a,b) 에서 미분가능한 함수
f(x), g(x) 에 대해,
f(b)-f(a) : g(b)-g(a) = f'(c) : g'(c) 인
c 가 열린 구간 (a,b) 안에 존재한다는 것이죠.
h(x) = (f(b)-f(a))g(x) - (g(b)-g(a))f(x)
에 대해 h(a)=h(b) 이므로,
평균값 정리를 쓰면 증명이 됩니다.
따라서...
f(x)/g(x) = f(y)/g(x) + (1 - g(y)/g(x)) f'(c)/g'(c) 가 되고,
lim_(x->a) f'(x)/g'(x) = m 이라고 하면,
f(x)/g(x) - m = f(y)/g(x) + (1 - g(y)/g(x))(f'(c)/g'(c) - m)
- g(y)/g(x) m 이 됩니다.
x, y 가 모두 a 에 가까우면,
|f(x)/g(x) - m| <= |f(y)/g(x)| + |(1 - g(y)/g(x))| ε + |g(y)/g(x) m| (**)
이 되고,
양변에 x->a 를 취하면,
lim f(x)/g(x) - m = 0 이 됩니다.
(왜냐하면 g(x) --> oo 가 원래 가정이므로...)
만일 f(x), g(x) --> 0 인 경우(즉, 0/0 꼴이면)
(**) 에서 y -> a 를 취해서
로피탈의 정리를 증명합니다.
예외) 로피탈을 쓰지 못합니다
[답변] 로피탈의 법칙의 예외(?) whiz
흔히들 로피탈의 법칙을 오해하고 있지요.
그 중의 대표적인 오해가
f'(x)/g'(x) 의 극한값이 f(x)/g(x) 의 극한값과 같다는 거죠.
위 사실은 f'(x)/g'(x) 의 극한값이 유한일 때는 참이지만,
(그것이 로피탈의 정리의 결과이고요)
f'(x)/g'(x) 의 극한값이 발산할 때는 참이 아닐 수 있습니다.
위의 문제가 그런 경우라고 할 수 있습니다.
옳은 풀이는
lim_{x→0} { x/sin x * (x sin(1/x)) } = 1 * 0 = 0
입니다.
로피탈의 법칙을 잘 못 쓰면,
다음과 같은 틀린 생각들을 하게 됩니다.
f 가 미분가능하고, f(0) = 0 일 때
f'(0) = lim_(x→0) f(x)/x = lim_(x→0) f'(x)/1
라고 생각한다는 거죠.
이는 f'(x) 가 x=0 에서 연속이라는 사실을 의미하고 있지요.
그렇지만 아시다시피 f'(x) 가 연속함수가 될 이유는
전혀 없습니다.
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