물리적으로 '상태(state)'라는 것이 있습니다.
질량, 운동량, 에너지, 속도, 온도 등등.... 어떤 물리적인 상태는 그에 해당하는 물리량으로 표현을 하지요.
그런데 이 상태라는 개념은 매우 추상적인 개념입니다.
우리가 쉽게 1,2,3 이라는 숫자를 쓰지만 이 숫자 자체가 매우 추상적인 개념인 것 처럼요.
사과 2개, 배2개, 전화기 2개, 자동차 2대......
저마다 속성이 다 다르지만, 인간이 가지고 있는 고유의 추상화 능력으로
그들로부터 '둘'라는 공통된 특성을 뽑아내게 되었지요.
그리고 그것을 기호로 '2'라고 씁니다.
또한 숫자는 보통 a, b, c, .... 혹은 x, y, z 같은 기호로 표현합니다.
양자역학적인 상태도 마찬가지로 매우 추상적인 개념이지요.
그리고 그러한 상태를 표기하는 기호로 다음과 같은 Bracket 기호를 사용합니다.
|a＞
유명한 Paul. A. M. Dirac 이 만들어 낸 표기법이죠.
저는 이 사실 하나만으로 Dirac 이 매우 위대한 과학자였다고 말하고 싶습니다.
이 글에서 저는 Dirac notation을 약간 바꾸겠습니다.
HTML Tag 를 사용하는데 있어서 ＞,＜ 같은 기호는 표기가 불편하기 때문입니다.
앞으로 |a＞ 는 |a} 로 표기하고, ＜a|는 {a| 로 표기하겠습니다.
벡터에서는 내적(Inner Porduct)이라는 연산이 있습니다.
양자역학에서도 내적이 존재하죠.
하지만, 벡터의 내적과 양자역학의 내적은 약간 다릅니다.
왜냐하면, 벡터는 그 성분이 모두 실수(real number)인데 반해서
양자역학에서는 number 라 하면 특별한 설명이 없는 한 복소수(complex)를 말하기 때문이죠.
실수범위 안에서 내적의 성질을 그대로 복소수까지 확장해서 일반화를 시키기 때문에 내적이 약간 다릅니다.
양자역학에서 내적을 정의하기 위해서는 ket 이라 불리우는 |a} 상태와
bra 라 불리우는 {a| 상태의 곱으로 표현합니다.
bra와 ket 은 서로 일대일 대응합니다.
bra가 존재하면 그에 따른 ket이 오직 하나 존재하고,
ket이 존재하면 그에 따른 bra는 오직 하나 존재합니다.
내적은 반드시 bra - ket 의 순서로 곱합니다.
{a|b}는 내적이 되지만,
{a|{b|, |a}{b|, |a}|b} 등은 내적이 아닙니다.
내적의 결과물은 벡터의 내적과 마찬가지로 수(number)입니다.
양자역학의 내적은 그 결과물이 복소수입니다.
앞에서도 이야기 했지만, 양자역학에서 수(number)라 함은 복소수를 의미합니다.
그럼 이제 |a}라는 상태를 어떻게 표현(representation)하는지 알아보죠.
|a} 라는 상태는 column vector로 표현할 수도 있고, function으로 표현할 수도 있습니다.
{a|라는 상태는 row vector로 표현할 수도 있고, function 으로 표현할 수도 있습니다.
마치 a 라는 벡터의 성분을 결정할 때 좌표에 따라 그 성분이 달라지는 것 처럼
|a} 라는 상태는 basis에 따라서 column vector 의 성분이 달라집니다. 또한 함수도 달라지구요.
지금 단계에서는 이해하기 쉽게 |a} 는 column vector {a| 는 row vector 라고 생각하세요.
자세한 것은 나중에 설명하게 될 것입니다.
일단, 행렬 표기를 하나 약속하지요.
(1, 2 ; 3, 4)로 표기된 것은 아래 행렬을 의미합니다.
┌ 1 2 ┐
│ │
└ 3 4 ┘
왜 내적을 정의하기 위해서 bra - ket 의 곱을 취하는지는
다음의 벡터 내적과 행렬(coulumn vector 와 row vector)의 곱을 비교해 보시면 대충 감이 올겁니다.
a = (a1, a2, a3) 라는 벡터와
b = (b1, b2, b3) 라는 베터의 내적은
(a,b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 가 됩니다.(Catesian 좌표에서. 원통좌표나 구면좌표에서는 아님)
위 결과는
{a| = (a1, a2, a3) 라는 row vector 와
|b} = (b1 ; b2 ; b3) 라는 column vector 사이의 '행렬의 곱'과 같은 결과입니다.
{a|b} = (a1, a2, a3) (b1 ; b2 ; b3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
※ 정확히 표현하자면, {a|는 |a}를 전치(transpose)하고 복소공액(complex conjugate)를 취한 것입니다.
하지만 각 성분들이 실수라면 복소공액을 취한 것과 자기 자신이 같기 때문에 위 처럼 적었습니다.
|a}를 행렬이 아닌 함수로 표현하면 내적은 적분으로 표현됩니다.
처음 듣는 분에게는 매우 생소하게 들리겠지만, 양자역학에서 내적은 적분으로 표현될 수 있습니다.
내적의 성질은 일반적인 벡터 내적과 비슷합니다.
{a|a} ＞ 0 (positive real), {a|a} = 0 iff |a} = 0
※ iff 는 if and only if 라는 뜻입니다, 왼쪽과 오른쪽은 필요충분조건이다.
위 내용을 말로 설명하자면, 자기 자신끼리의 내적은 항상 양의 실수를 얻게 되고
자기 자신끼리의 내적이 0 이라는 말은 그 ket 이 null ket 이라는 뜻과 같습니다.
하지만, 양자역학에서의 내적은 교환법칙이 성립하지 않습니다.
{a|b} = {b|a}*
여기서, {b|a}* 는 {b|a} 의 복소공액(complex conjugate)을 의미함
0 벡터가 아닌 두 벡터가 서로 직교하면 내적이 0 인 것 처럼
양자역학에서도 내적의 결과가 0 인 두 ket을 서로 직교(orthogonal)한다고 말합니다.
또한, null ket이 아닌 임의의 ket 은 적당한 상수를 곱해서
자기 자신끼리의 내적의 결과가 1 이 되게 만들 수 있는데
이렇게 만드는 과정을 규격화(normalization) 라고 하고,
규격화 된 ket을 normalized ket 이라고 합니다.
즉, {a|a} = 1 iff |a} is normalized
ket 을 모아놓은 어떤 집합에서
그 안의 모든 원소(ket)들이 규격화 되어 있고,
모든 원소들이 서로 직교하면 그 집합을 가리켜 orthonormal 이라고 합니다.
즉, orthonormal = orthogonal + normalized
내적의 양자역학적인 의미는 '확률'입니다.
|a} 라는 초기 상태에서 |b} 라는 나중 상태로 바뀔 확률은
'내적의 절대치의 제곱에 비례'합니다.
(복소수 영역에서는 '제곱'과 '절대치의 제곱'은 서로 다른 값을 갖습니다.)
만약 |a} 와 |b}가 normalized 되어 있다면
확률은 '내적의 절대치의 제곱과 같은' 값을 얻습니다.
Goswami 책 123p 에 있는 내용을 옮겨 적으면
It is the amplitude for the event that starts with |a} and ends with {b|.
The abolute square of this amplitude |{b|a}|2 is the probability density for the event.
위의 내용을 수식으로 표현한다면
|a}에서 |b}로 바뀔 확률 = |{b|a}|2 = |{a|b}|2 = {a|b}* {b|a}
내적을 계산하는 구체적은 방법은 나중에 적도록 하겠습니다.
헥헥~~~
고유함수 이야기 할려구 했는데...
이제까지 상태 이야기 밖에 못했네요 ㅠ.ㅠ
operator 이야기도 해야 하는뎅...
다음에 이어집니다.
질량, 운동량, 에너지, 속도, 온도 등등.... 어떤 물리적인 상태는 그에 해당하는 물리량으로 표현을 하지요.
그런데 이 상태라는 개념은 매우 추상적인 개념입니다.
우리가 쉽게 1,2,3 이라는 숫자를 쓰지만 이 숫자 자체가 매우 추상적인 개념인 것 처럼요.
사과 2개, 배2개, 전화기 2개, 자동차 2대......
저마다 속성이 다 다르지만, 인간이 가지고 있는 고유의 추상화 능력으로
그들로부터 '둘'라는 공통된 특성을 뽑아내게 되었지요.
그리고 그것을 기호로 '2'라고 씁니다.
또한 숫자는 보통 a, b, c, .... 혹은 x, y, z 같은 기호로 표현합니다.
양자역학적인 상태도 마찬가지로 매우 추상적인 개념이지요.
그리고 그러한 상태를 표기하는 기호로 다음과 같은 Bracket 기호를 사용합니다.
|a＞
유명한 Paul. A. M. Dirac 이 만들어 낸 표기법이죠.
저는 이 사실 하나만으로 Dirac 이 매우 위대한 과학자였다고 말하고 싶습니다.
이 글에서 저는 Dirac notation을 약간 바꾸겠습니다.
HTML Tag 를 사용하는데 있어서 ＞,＜ 같은 기호는 표기가 불편하기 때문입니다.
앞으로 |a＞ 는 |a} 로 표기하고, ＜a|는 {a| 로 표기하겠습니다.
벡터에서는 내적(Inner Porduct)이라는 연산이 있습니다.
양자역학에서도 내적이 존재하죠.
하지만, 벡터의 내적과 양자역학의 내적은 약간 다릅니다.
왜냐하면, 벡터는 그 성분이 모두 실수(real number)인데 반해서
양자역학에서는 number 라 하면 특별한 설명이 없는 한 복소수(complex)를 말하기 때문이죠.
실수범위 안에서 내적의 성질을 그대로 복소수까지 확장해서 일반화를 시키기 때문에 내적이 약간 다릅니다.
양자역학에서 내적을 정의하기 위해서는 ket 이라 불리우는 |a} 상태와
bra 라 불리우는 {a| 상태의 곱으로 표현합니다.
bra와 ket 은 서로 일대일 대응합니다.
bra가 존재하면 그에 따른 ket이 오직 하나 존재하고,
ket이 존재하면 그에 따른 bra는 오직 하나 존재합니다.
내적은 반드시 bra - ket 의 순서로 곱합니다.
{a|b}는 내적이 되지만,
{a|{b|, |a}{b|, |a}|b} 등은 내적이 아닙니다.
내적의 결과물은 벡터의 내적과 마찬가지로 수(number)입니다.
양자역학의 내적은 그 결과물이 복소수입니다.
앞에서도 이야기 했지만, 양자역학에서 수(number)라 함은 복소수를 의미합니다.
그럼 이제 |a}라는 상태를 어떻게 표현(representation)하는지 알아보죠.
|a} 라는 상태는 column vector로 표현할 수도 있고, function으로 표현할 수도 있습니다.
{a|라는 상태는 row vector로 표현할 수도 있고, function 으로 표현할 수도 있습니다.
마치 a 라는 벡터의 성분을 결정할 때 좌표에 따라 그 성분이 달라지는 것 처럼
|a} 라는 상태는 basis에 따라서 column vector 의 성분이 달라집니다. 또한 함수도 달라지구요.
지금 단계에서는 이해하기 쉽게 |a} 는 column vector {a| 는 row vector 라고 생각하세요.
자세한 것은 나중에 설명하게 될 것입니다.
일단, 행렬 표기를 하나 약속하지요.
(1, 2 ; 3, 4)로 표기된 것은 아래 행렬을 의미합니다.
┌ 1 2 ┐
│ │
└ 3 4 ┘
왜 내적을 정의하기 위해서 bra - ket 의 곱을 취하는지는
다음의 벡터 내적과 행렬(coulumn vector 와 row vector)의 곱을 비교해 보시면 대충 감이 올겁니다.
a = (a1, a2, a3) 라는 벡터와
b = (b1, b2, b3) 라는 베터의 내적은
(a,b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 가 됩니다.(Catesian 좌표에서. 원통좌표나 구면좌표에서는 아님)
위 결과는
{a| = (a1, a2, a3) 라는 row vector 와
|b} = (b1 ; b2 ; b3) 라는 column vector 사이의 '행렬의 곱'과 같은 결과입니다.
{a|b} = (a1, a2, a3) (b1 ; b2 ; b3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
※ 정확히 표현하자면, {a|는 |a}를 전치(transpose)하고 복소공액(complex conjugate)를 취한 것입니다.
하지만 각 성분들이 실수라면 복소공액을 취한 것과 자기 자신이 같기 때문에 위 처럼 적었습니다.
|a}를 행렬이 아닌 함수로 표현하면 내적은 적분으로 표현됩니다.
처음 듣는 분에게는 매우 생소하게 들리겠지만, 양자역학에서 내적은 적분으로 표현될 수 있습니다.
내적의 성질은 일반적인 벡터 내적과 비슷합니다.
{a|a} ＞ 0 (positive real), {a|a} = 0 iff |a} = 0
※ iff 는 if and only if 라는 뜻입니다, 왼쪽과 오른쪽은 필요충분조건이다.
위 내용을 말로 설명하자면, 자기 자신끼리의 내적은 항상 양의 실수를 얻게 되고
자기 자신끼리의 내적이 0 이라는 말은 그 ket 이 null ket 이라는 뜻과 같습니다.
하지만, 양자역학에서의 내적은 교환법칙이 성립하지 않습니다.
{a|b} = {b|a}*
여기서, {b|a}* 는 {b|a} 의 복소공액(complex conjugate)을 의미함
0 벡터가 아닌 두 벡터가 서로 직교하면 내적이 0 인 것 처럼
양자역학에서도 내적의 결과가 0 인 두 ket을 서로 직교(orthogonal)한다고 말합니다.
또한, null ket이 아닌 임의의 ket 은 적당한 상수를 곱해서
자기 자신끼리의 내적의 결과가 1 이 되게 만들 수 있는데
이렇게 만드는 과정을 규격화(normalization) 라고 하고,
규격화 된 ket을 normalized ket 이라고 합니다.
즉, {a|a} = 1 iff |a} is normalized
ket 을 모아놓은 어떤 집합에서
그 안의 모든 원소(ket)들이 규격화 되어 있고,
모든 원소들이 서로 직교하면 그 집합을 가리켜 orthonormal 이라고 합니다.
즉, orthonormal = orthogonal + normalized
내적의 양자역학적인 의미는 '확률'입니다.
|a} 라는 초기 상태에서 |b} 라는 나중 상태로 바뀔 확률은
'내적의 절대치의 제곱에 비례'합니다.
(복소수 영역에서는 '제곱'과 '절대치의 제곱'은 서로 다른 값을 갖습니다.)
만약 |a} 와 |b}가 normalized 되어 있다면
확률은 '내적의 절대치의 제곱과 같은' 값을 얻습니다.
Goswami 책 123p 에 있는 내용을 옮겨 적으면
It is the amplitude for the event that starts with |a} and ends with {b|.
The abolute square of this amplitude |{b|a}|2 is the probability density for the event.
위의 내용을 수식으로 표현한다면
|a}에서 |b}로 바뀔 확률 = |{b|a}|2 = |{a|b}|2 = {a|b}* {b|a}
내적을 계산하는 구체적은 방법은 나중에 적도록 하겠습니다.
헥헥~~~
고유함수 이야기 할려구 했는데...
이제까지 상태 이야기 밖에 못했네요 ㅠ.ㅠ
operator 이야기도 해야 하는뎅...
다음에 이어집니다.
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