'11. 05. 12일자 추리논증연재

[꿈을주는자]

한국로스쿨신문 게재 자료 (’11. 5. 12)

LEET 조성우 추리논증

조성우 (메가로스쿨)

안녕하세요. 조성우 추리논증 강사입니다. 지난시간까지 명제논리에 대해 살펴보았습니다. 오늘부터는 명제논리에 이어 술어논리의 기본내용들을 살펴보도록 하겠습니다. ※ 이전 자료는 제 카페(카페명 : 조성우 상황판단 & 추리논증, http://cafe.daum.net/monomics)나 강의를 활용해 주시기 바랍니다.

1. 술어 및 관계 논리의 개념 및 의의

1) 술어논리의 개념

술어논리는 그 분석의 단위를 술어(述語)로까지 확장한 기호논리학의 한 분야로서 양화(量化, Quantification) 논리라고도 하며, 보통 명제논리(命題論理)보다 한 단계 위쪽에 놓인다. 명제논리에서의 명제는 분석의 기본 단위로 취급되어 그 내부구조 속으로 파고들어간 분석이 이루어질 수 없다. 그러나 술어논리는 분석의 단위를 명제 자체의 구조에까지 확장함으로써 보다 심층적 분석을 가능케 한다.

술어(述語)란 단칭명제[예, 소크라테스는 인간이다.]에서 특정대상의 이름[즉, 소크라테스]를 제외한 나머지 부분(…는 인간이다)을 말한다.

2) 관계 논리[關係論理]

두 개 이상의 대상 사이에 성립되는 규정을 관계로 하여 형식화하고, 그 논리 구조를 다루는 학문으로 논리학의 한 분야이다. 불(Boole, G.), 드모르간, 퍼스(Peirce, C. S.) 등이 전개한 기호 논리로 오늘날의 술어(述語) 논리학으로 발전하였다.

2. 술어논리의 기본 구성 : 정언 명제

1) 정언 명제의 4가지 표준 형식

‘정언 명제(Categorical proposition)’는 주어와 술어의 두 단어(개념, 집합 혹은 범주)의 포함과 배제 관계를 서술하는 명제이다. 정언 명제는 정언 논리의 체계에 맞게 표준화한 형식이다.

정언명제	양(quantity)	질(quality)	명제의 유형
모든 S는 P이다.	전칭	긍정	A
모든 S는 P가 아니다.	전칭	부정	E
어떤 S는 P이다.	특칭	긍정	I
어떤 S는 P가 아니다.	특칭	부정	O

2) 일상 명제를 정언명제의 표준 형식으로 옮기기

	• 정언 명제의 표준 형식 •
	⇨ 양화사(모든/어떤) + 주어(명사/명사형) + 술어(명사/명사형) + 계사(이다/아니다)

① 술어가 명사나 명사형으로 되어 있지 않은 경우 : 적절한 명사 or 명사형 술어의 도입

(가) “어떤 장미는 붉다. → “어떤 장미는 붉은 장미이다.”

(나) “대학을 졸업한 어떤 사람은 교양이 있다.” → “대학을 졸업한 어떤 사람은 교양 있는 사람이다.”

② 양화사가 없을 경우 : 적절한 양화사의 삽입.

(가) “에메랄드는 녹색 보석이다.” → “모든 에메랄드는 녹색 보석이다.”

(나) “그 동물원에는 사자가 있다.” → “어떤 사자는 그 동물원에 있는 사자이다.”

(다) “이웃에 어린이가 산다.” → “어떤 어린이는 이웃에 사는 어린이이다.”

③ 양화사는 있으나 표준적이지 않을 경우 : 적절한 표준 형식의 양화사로 바꾸고 동시에 주어, 술어도 적절하게 수정

(가) “몇몇 군인들은 애국심이 있다.” → “어떤 군인은 애국심이 있는 군인이다.”

(나) “모든 수재민이 구호품을 받는 것은 아니다.” → “어떤 수재민은 구호품을 받지 못하는 사람이다.”

(다) “한 마리의 개도 보이지 않았다.” → “모든 개는 보이지 않았던 동물이다.”

④ 단칭 명제일 경우 :‘…와(과) 동일한(같은) 모든’이라는 표현을 사용

(가) “철수는 물리학과 학생이다.” → “ 철수와 동일한 모든 사람은 물리학과 학생이다.”

(나) “그 집은 지난번에 도둑이 든 집이다.” → “그 집과 동일한 모든 집은 지난번에 도둑이 든 집이다.”

(다) “나는 사과를 싫어한다.” → “나와 동일한 모든 사람은 사과를 싫어하는 사람이다.”

⑤ 특정한 부사나 대명사가 있는 경우

Ⅰ. 장소를 나타내는 부사	‘어느 곳에서나’‘ 어디에나’ ‘ 그 어느 곳에도’	장소 및 시간을 나타내는 부사가 있을 경우 ➤ [장소, 곳, 시간, 때] 라는 단어 사용
Ⅱ. 시간을 나타내는 부사	‘…할 때에 언제나 ’ ‘…할 때마다’‘결코…않는다.’ ‘항상’‘언제나’
Ⅲ.‘누구든’‘무엇이든’‘어떤 것이든’등의 표현 ➤‘모든 사람’or‘모든 것’이라는 단어를 사용해서 명사(형)로 만든다.

(가) “그는 출근할 때 항상 정장을 입는다.” → “그가 출근하는 모든 시간은 정장을 입는 때이다.”

(나) “그녀는 학교에 결코 점심을 싸오지 않는다.” → “그녀가 학교에 오는 모든 때는 점심을 싸오는 때가 아니다.” or “그녀가 학교에 오는 모든 때는 점심을 싸오지 않는 때이다.”

(다) 지구상 어디에도 인어가 살지 않는다.” → “지구상 모든 곳은 인어가 살지 않는 곳이다.”

(라) “수민이는 자신이 원하는 것은 무엇이나 얻기 위해 노력한다,” → “수민이가 원하는 모든 것은 자신이 얻기 위해 노력하는 것이다.”

⑥ 조건 명제의 경우 : 전건과 후건의 주어가 동일한 조건 명제 → A나 E 유형의 표준 형식으로 표현

(가) “만약 그것이 토끼라면 그것은 동물이다.” → “모든 토끼는 동물이다.”

(나) “만약 그 목걸이가 금으로 만들어져 있다면 그것은 싸지 않다.” → “모든 금으로 만들어진 목걸이는 싼 것이 아니다.”

⑦ 배타적 명제의 경우 :‘단지’‘오직’,‘…이외의 어떤 것도’라는 단어를 포함하는 명제를 배타적 명제라 하고 이 경우 자칫 명제의 내용을 바꿀 수 있기 때문에 주의가 필요

(가) “오직 낙타만이 그 사막의 운행수단이다.” → “그 사막의 모든 운행수단은 낙타이다.”(○)→ “모든 낙타는 그 사막의 운행수단이다.”(×)

(나) “공작 외의 어떤 새도 자신의 꼬리를 자랑하지 않는다.”

→ “자신의 꼬리를 자랑하는 모든 새는 공작이다.”(○)

→ “모든 공작은 자신의 꼬리를 자랑하는 새이다.”(×)

⑧‘유일한’을 포함하는 명제의 경우 :‘유일한’이라는 단어는‘모든’으로 번역되고 그 단어 다음에 나오는 단어가 주어가 됨

(가) “이 계곡에 사는 유일한 동물은 지네이다.” → “이 계곡에 사는 모든 동물은 지네이다.”

(나) “IT산업이 유일한 대안이다.” → “모든 대안은 IT산업이다.”

⑨ 예외적 명제(exceptive proposition)의 경우 : 예외적 명제 :‘…을 제외하고는 모두’를 포함한 명제 ➤ 두 개의 정언 명제로 번역

(가) “공무원 이외의 모든 노동자는 파업할 수 있다.”

→ “모든 공무원은 파업할 수 없는 노동자이다. (그리고)모든 비공무원(공무원이 아닌 노동자)은 파업할 수 있는 노동자이다.”

(나) “회원 이외의 모든 사람은 입장료를 낸다.”

→ “모든 회원은 입장료를 내지 않는 사람이다. (그리고)모든 비회원은 입장료를 내는 사람이다.”

<표> 일상적 표현 vs. 표준 정언적 형식

일상적 표현	표준 정언적 형식
모든 사람은 죽는다.	모든 사람은 죽는 존재이다.(A)
불은 뜨겁다.	모든 불은 뜨거운 것이다.(A)
만일 어떤 것이 물이라면, 그것은 섭씨 0°에서 언다.	모든 물은 섭씨 0°에서 어는 물질이다.(A)
오직 회원들만 초청되었다.	초청된 모든 사람들은 회원이다.(A)
네가 갔던 곳은 어디라도 갔었다.	네가 갔던 모든 장소는 내가 갔던 장소이다.(A)
겉모습에 반하여 결혼한 사람치고 후회하지 않는 사람은 없다.	겉모습에 반하여 결혼한 사람은 모두 후회하는 사람이다.(A)
아무도 영원히 살지도 못한다.	어떤 사람도 영원히 사는 존재가 아니다.(E)
어떤 사람도 완전하지는 않다.	어떤 사람도 완전한 사람은 아니다.(E)
누가 되었든지 친구가 없다면, 정상인이 아니다.	친구가 없는 어떤 사람도 정상인이 아니다.(E)
빛보다 빨리 달릴 수 있는 것은 없다.	어떤 대상도 빛보다 빨리 달릴 수 있는 대상이 아니다.(E)
어떤 여인은 정숙하다.	어떤 여인은 정숙한 사람이다.(I)
마음이 따뜻한 사람들이 있다.	어떤 사람들은 마음이 따뜻한 사람이다.(I)
누군가 우리를 배신했다.	어떤 사람은 우리를 배신한 사람이다.(I)
적어도 한 사람이 그녀를 사랑했다.	어떤 사람은 그녀를 사랑한 사람이다.(I)
나는 그가 벼락부자가 되기 전에 그를 알고 있었다.	내가 그를 알았던 어떤 시간들은 그가 벼락부자가 되기 전의 시간들이었다.(I)
어떤 학생은 낭만을 모른다.	어떤 학생은 낭만을 아는 사람이 아니다.(O)
사랑을 경험해 보지 못한 사람들이 있다.	어떤 사람들은 사랑을 경험해 본 사람들이 아니다. (O)
친구간이라고 해서 항상 다정한 것은 아니다.	친구와 갖는 어떤 시간은 다정하게 보낸 시간이 아니다. (O)
모든 철학자가 비현실적인 것은 아니다.	어떤 철학자는 비현실적인 사람이 아니다.(O)

3. 정언명제와 벤다이어그램

아래 벤다이어그램에서 사선으로 빗금 친 부분은 ‘존재하지 않음’을, ‘×’는 ‘적어도 하나는 있음’을 뜻하고, ‘ⓧ’는 ‘모두 해당됨’을 뜻하며, 하얗게 남아 있는 공간은 ‘정보 부재, 즉 어떠한 언급도 하지 않았음’을 뜻한다.

① 전칭긍정(全稱肯定, universal affirmative : A) 명제 : 모든 P는 Q이다.

② 전칭부정(全稱否定, universal negative : E ) 명제 : 어떤 P도 Q가 아니다.

P G

(No P are Q.)

③ 특칭긍정(特稱肯定, particular affirmative : I ) 명제 : 어떤 P는 Q이다.

P Q

(Some P are Q.)

④ 특칭부정(特稱否定, particular negative : O ) 명제 : 어떤 P는 Q가 아니다.

P Q

(Some P are not Q.)

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