'08. 10. 9일자 추리논증연재_언어추리3(술어논리2)

작성자피셋과 리트|작성시간08.10.15|조회수2,584 목록 댓글 0

한국로스쿨신문 게재 자료 (’08. 10. 9)

LEET Joe & You 추리논증

- 조성우 (베리타스 추리논증 전임)-

안녕하세요. 조성우 추리논증 강사입니다. 오늘은 지난 시간에 살펴본 술어논리와 관련된 문제들을 좀 더 살펴보도록 하겠습니다. 술어논리 특히 정언명제 관련하여 복잡한 이론들이 많이 있으나 출제기관에서는 이러한 이론을 통한 해결보다는 도형이나 다이어그램을 통한 문제해결을 요구하고 있습니다. 또한 문제를 접하며 항상 기억하여야 할 것은 자신의 풀이방법이 제한된 시간 내에 해결할 수 있는 문제풀이 방법인가 하는 점입니다. 즉, 처음 학습에 임할 때는 문제를 해결하는 것만으로도 만족할 수 있겠지만, 점차 실전에 활용되어 질수 있는 단계까지 끌어올리는 것이 중요합니다. 좋은 문제를 여러 번 반복해서 학습하고 분석해야 하는 것은 이런 이유에서입니다. ※이전 자료들은 다음 카페(카페명 : 조성우 상황판단 & 추리논증, http://cafe.daum.net/monomics)를 참조해 주시기 바랍니다.

다음을 참이라고 가정할 때. 반드시 참인 것은?

ㄱ. 모든 금속은 전기가 통한다.

ㄴ. 광택이 난다고 해서 반드시 금속은 아니다.

ㄷ. 전기가 통하지 않고 광택이 나는 물질이 존재한다.

ㄹ. 광택이 나지 않으면서 전기가 통하는 물질이 존재한다.

ㅁ. 어떤 금속은 광택이 난다.

① 금속이 아닌 물질은 모두 전기가 통하지 않는다

② 전기도 통하고 광택도 나는 물질이 존재한다.

③ 광택을 내지 않고 금속인 물질이 존재한다.

④ 전기가 통하는 물질은 모두 광택이 난다.

⑤ 광택을 내지 않는 금속은 없다.

	술어 및 관계 논리
이 문제는 일상 명제를 정언 명제의 표준형식으로 바꾸고 비교 가능한 형태로 조작하여 판단할 수도 있다. 그러나 이렇게 접근하는 것은 실수의 가능성도 높을 뿐 아니라 문제에 따라서는 매우 복잡할 수 있다. 따라서 간편하게 접근할 수 있는 벤다이어그램을 통한 타당성 평가방법을 권한다.



1. 벤다이어그램을 이용한 타당성 증명 제시된 명제의 표현 각각의 영역을 1~7이라 하자. 제시된 명제(ㄱ~ㅁ)를 그림으로 표현해 보면 좌측 벤다이어그램과 같다. ① (X) ㄹ과 ㄴ이 전기영역(2)에 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있으므로 반드시 참이라고는 할 수 없다. ② (O) ㅁ에 의해서 반드시 참이다. ③ (X) ㄹ이 어느 영역에 존재하느냐에 따라 참 거짓이 달라진다. 4영역에 존재하면 참이고 2영역에만 존재한다면 거짓이 된다. ④ (X) ㄹ이 존재하기 때문에 반드시 거짓이라 할 수 있다. ⑤ (X) ㄹ에 의해 참이 될 수도 거짓이 될 수도 있다. ㄹ이 4영역에 존재하면 참이 되고 2영역에 존재한다면 거짓이 된다. 정답 : ②

⋅Plus 해설⋅

정언명제의 조작을 통한 타당성 평가

제시된 일상 명제를 정언 명제의 표준형식으로 바꾸어 보면 아래와 같다.

ㄱ. 모든 금속은 전기가 통하는 물질이다.

ㄴ. 어떤 광택이 나는 물질은 금속이 아니다.

ㄷ. 어떤 전기가 통하지 않는 물질은 광택이 나는 물질이다.

ㄹ. 어떤 광택이 나지 않는 물질은 전기가 통하는 물질이다.

ㅁ. 어떤 금속은 광택이 나는 물질이다.

② (O) 전기도 통하고 광택도 나는 물질이 존재한다.

ㄱ. 모든 금속은 전기가 통하는 물질이다. (금속 → 전기)

ㅁ. 어떤 금속은 광택이 난다.

따라서 어떤 전기가 통하는 물질은 광택이 난다.

① (X) 금속이 아닌 물질은 모두 전기가 통하지 않는다. (비금속 → ~전기)

ㄱ. 모든 금속은 전기가 통하는 물질이다. (전칭긍정은 이환이 가능하다.)

→ (이환) 전기가 통하지 않는 물질은 모두 금속이 아니다. (전칭 부정)

→ (환위) 금속이 아닌 물질은 모두 전기가 통하지 않는다.

선택지와 같은 명제로 조작되었으나, 전칭부정명제는 환위가 불가하므로 반드시 참이라 할 수 없다.¹⁾

③ 광택을 내지 않고 금속인 물질이 존재한다(어떤 광택을 내지 않는 물질은 금속이다).

ㄹ. 어떤 광택이 나지 않는 물질은 전기가 통하는 물질이다. 이므로 ‘모든 전기가 통하는 물질은 금속이다.’는 추론이 가능하다면 반드시 참이라 할 수 있다. 그러나 ㄱ(모든 금속은 전기가 통하는 물질이다)은 전칭긍정명제로 환위가 불가하므로 반드시 참이라 할 수 없다.²⁾

④ (X) 전기가 통하는 물질은 모두 광택이 난다.(전칭긍정명제)

선택지④는 선택지②(특칭긍정명제)의 전칭긍정명제이므로 대소관계로 특칭긍정이 참이라고 하여 전칭긍정이 반드시 참이라 할 수 없다.

⑤ (X) 광택을 내지 않는 금속은 없다.(모든 금속은 광택이 난다.) (전칭긍정)

선택지⑤는 ㅁ과 대소관계이므로 ㅁ(특칭긍정)이 참이라고 하여 전칭긍정이 반드시 참이라고 할 수 없다.

다음의 (가)~(다)가 참이라고 할 때, 반드시 참이 되는 것은?

(가) A종 공룡은 모두 가장 큰 B종 공룡보다 크다.

(나) 일부의 C종 공룡은 가장 큰 B종 공룡보다 작다.

(다) B종 공룡은 모두 가장 큰 D종 공룡보다 크다.

① 가장 작은 A종 공룡만한 D종 공룡이 있다.

② 어떤 A종 공룡은 가장 큰 C종 공룡보다 작다.

③ 가장 작은 C종 공룡만한 D종 공룡이 있다.

④ 어떤 C종 공룡은 가장 큰 D종 공룡보다 작다.

⑤ 어떤 C종 공룡은 가장 작은 A종 공룡보다 작다.

	명제 간 관계 파악
제시된 명제 (나)의 의미를 제대로 이해했느냐가 문제해결의 포인트이다. 제시된 명제를 비교하기 좋게 그림으로 표현한다면 문제해결이 보다 수월할 것이다.



문제에서 요구하고 있는 것은 반드시 참인 것이 어떤 것인가 하는 것이다. ① (X) 반드시 거짓이다. ② (X) C종 공룡의 범위에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. ③ (X) C종 공룡의 범위에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. ④ (X) C종 공룡의 범위에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. ⑤ (O) 특칭명제(‘어떤’)는 존재하기만 하면 참이라 할 수 있으므로 즉, 가장 작은 A종 공룡보다 작은 C종 공룡은 최소한 하나 이상 존재하므로 반드시 참이라고 할 수 있다. 정답 : ⑤

<보기>의 각 경우에 갑과 을은 서로 대립된 주장을 하고 있다. 어떤 경우는 갑과 을 두 사람 중 한 사람의 견해만이 타당하여 둘 중 하나를 선택해야 한다. 하지만 다른 경우는 갑과 을의 주장 모두를 타당하지 않게 하는 제3의 가능성이 있을 수 있다. 갑과 을 모두가 타당하지 않을 수 있는 경우를 고른 것은?

ㄱ. (갑) 위원회 위원들 가운데 한 사람도 오늘 위원회에 참석하지 않았다.
(을) 몇몇 위원들은 오늘 위원회에 참석했다.

ㄴ. (갑) A사의 매출액은 B사보다 크다.
(을) B사의 매출액은 적어도 A사의 매출액만큼은 된다.

ㄷ. (갑) 서울시 시의원이 모두 환영식에 참석하였다.
(을) A씨는 서울시 시의원인데도 환영식에 참석하지 않았다.

ㄹ. (갑) 2005년도의 물가 상승률은 5% 이상이었다.
(을) 2005년도의 물가 상승률은 5%보다 낮았다.

ㅁ. (갑) 하루에 술 한두 잔은 어떤 사람의 건강도 해치지 않는다.
(을) 심장질환자는 건강을 위해 절대 술을 마셔서는 안 된다.

보기

① ㄱ, ㄷ ② ㄱ, ㄴ, ㄹ

③ ㄴ, ㄹ ④ ㄷ, ㅁ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㅁ

	반대관계와 모순관계의 응용
정언명제간 관계(=대당사각형)를 응용한 문제로 볼 수 있다. 특히 반대관계를 추론할 때 두 명제를 모두 거짓으로 만드는 제3의 가능성을 찾는 방식은 본 문제에서도 준용된다.



갑과 을의 주장 모두를 타당하지 않게 하는 제3의 가능성이 있는지를 검토하여 문제를 해결토록 한다. 정언명제간 관계를 이용하여 설명하면, 대립된 주장을 하고 있는 (갑)과 (을)의 견해 중 한 사람의 견해만이 타당하여 둘 중 하나를 선택해야 하는 경우는‘모순관계’에 해당되고, 제3의 가능성이 존재하여 갑과 을 모두를 타당치 않게 만드는 경우는‘반대관계’에 해당된다. 그러나 본 문제에서 제3의 가능성이 존재한다고 해서 모두 반대관계인 것은 아니다. 모순, 반대, 대소, 소반대 관계는 정언명제간 관계를 설명하는 내용이고, 본 문제는 정언명제에 국한하여 질문하고 있지 않으므로 탄력적인 접근을 필요로 한다. ㄱ. 위원들 가운데 한 사람도 참석하지 않거나, 한 사람이라도 참석하거나 둘의 가능성 밖에 존재하지 않으므로, (갑)과 (을)의 주장 중 하나는 반드시 타당하게 된다. ㄴ. (갑)의 주장은‘A사 매출액B사 매출액’이며, (을)의 주장은‘A사 매출액B사 매출액’으로 요약할 수 있다. 즉, (갑)과 (을)의 주장은 모든 가능성을 포괄하고 있으므로 둘 중 하나는 반드시 타당하게 된다. ㄷ. (갑) 서울시 시의원이 모두 환영식에 참석하였다. (을) A씨는 서울시 시의원인데도 환영식에 참석하지 않았다. => (갑)과 (을) 모두를 타당하지 않게 하는 제3의 가능성이 존재한다. ⅰ) 서울시 시의원일부와 A씨가 환영식에 참석하는 경우 서울시 시의원 중 일부가 환영식에 참석하고, 서울시 시의원인 A씨는 환영식에 참석하였다. → (갑)의 주장‘서울시 의원 모두 참석하였다’가 거짓이 되고, (을)의‘A씨가 참석하지 않았다’ 또한 거짓이 된다. ⅱ) 서울시 시의원인 A씨만 환영식에 참석하는 경우 A씨가 아닌 다른 서울시 시의원은 환영식에 참석하지 않고, 서울시 시의원인 A씨는 환영식에 참석하였다. → (갑)의 서울시 의원 모두 참석하였다가 거짓이 되고, (을)의 A씨가 참석하지 않았다 또한 거짓이 된다. ㄹ. (갑)의 주장은‘물가상승률5%’라는 것이고, (을)의 주장은‘물가상승률5%’라는 것이므로, 양 주장은 모든 가능성을 포괄하고 있다. 따라서 둘 중 하나는 반드시 타당하게 된다. ㅁ. (갑) 하루에 술 한두 잔은 어떤 사람의 건강도 해치지 않는다. (을) 심장질환자는 건강을 위해 절대 술을 마셔서는 안 된다. =>갑과 을을 모두 타당하지 않게 하는 제 3의 가능성이 존재한다. ⅰ) 하루에 술 한두 잔은 간 질환자 이외의 어떤 사람의 건강도 해치지 않는다. → (갑)의‘어떤 사람의 건강도 해치지 않는다(전칭부정)’는 간 질환자 때문에 거짓이 되고, (을)의‘심장질환자는 술을 마셔서는 안 된다’또한 거짓이 된다. (간질환자만 절대 술을 마셔서는 안 되기 때문) ⅱ) 하루에 한두 잔의 술은 심장질환자가 아닌 다른 사람의 건강을 해친다. → (갑)의‘어떤 사람의 건강도 해치지 않는다(전칭부정)’는 거짓이 되고, (을)의‘심장질환자 는 술을 마셔서는 안 된다’ 또한 거짓이 된다.(심장질환자의 건강은 해치지 않기 때문) 따라서 정답은 ㄷ, ㅁ 의 ④이다. 정답 : ④

아래의 정의를 따를 때, 다음 중 논리적으로 타당한 논증은?

‘논리적으로 타당한 논증’이란 전제들이 모두 참인 경우 결론 또한 참이어야 하는 논증을 말한다.

① 공직을 지망하는 대부분의 사람들은 안정된 직장을 원한다. 모험을 좋아하는 사람들은 대부분 안정된 직장을 원하지 않는다. 따라서 모험을 좋아하는 사람들은 대부분 공직을 지망하지 않는다.

② 정직하고 봉사정신이 강한 사람들만이 공직을 맡을 수 있다. 정직하지만 공직자가 아닌 사람들은 많이 있다. 따라서 정직하지만 봉사정신은 강하지 않은 사람들이 많이 있다.

③ 공직자들은 많은 돈을 벌 가능성은 매우 낮다. 철수는 많은 돈을 벌었다. 따라서 철수가 공직자일 가능성은 매우 낮다.

④ 어떤 공직자는 모든 공직자들의 존경을 받는다. 공직자들은 모두 성실하고 자존심이 강한 사람들이다. 따라서 공직자들은 모두 자존심이 강한 어떤 사람을 존경한다.

⑤ 영희와 철수가 모두 시험에 응시한다면 두 사람은 서로 경쟁을 해야 한다. 영희와 철수는 서로간의 경쟁을 원하지 않는다. 따라서, 영희와 철수는 모두 시험에 응시하지 않을 것이다.

삼단논법의 타당성 논증³⁾을 출제한 문제로 상당히 까다로운 문제이다. 각 선택지에 대해 정확한 논거를 제시할 수 있는 수험생은 이미 상당한 수준의 논리와 비판적 사고를 가지고 있다고 할 수 있다. 본 문제를 자신이 직접 해결해 보고자 노력한다면 실력향상에 많은 도움이 될 것이다. 논리 추론 훈련을 위한 좋은 문제라 할 수 있다.



문제에서 요구하고 있는 것은‘논리적으로 타당한 논증’을 고르는 것이고,‘논리적으로 타당한 논증’이란‘전제들이 모두 참인 경우 결론 또한 참이어야 하는 논증’이라고 문제에서 정의하고 있다. 따라서 전제들을 참이라고 가정할 경우 결론이 거짓이 되거나 참 ․ 거짓 모두 될 수 있는 경우, 또는 알 수 없는 경우 등은 타당한 논증이라 할 수 없다. ④ 해결의 단서 : 전제1의“존경을 받는다”를 결론의“존경한다”와 같은 형태로 전환하여 판단하고‘어떤’이란 특칭명제는‘존재’하기만 하면‘참’이라는 사실을 염두에 두고 판단한다. 전제1. 어떤 공직자는 모든 공직자들의 존경을 받는다. → 공직자들은 모두 어떤 공직자를 존경한다. 전제2. 공직자들은 모두 성실하고 자존심이 강한 사람들이다. → 공직자라면 성실하고 자존심이 강한 사람이다. ⇒ 전제1과 전제2를 통해 논리적으로 타당한 추론은 “공직자들은 모두 어떤 성실하고 자존심이 강한 사람을 존경한다.”이다. 결론. 공직자들은 모두 자존심이 강한 어떤 사람을 존경한다. ⇒ 판단 : 성실하고 자존심이 강한 사람이 존재한다면 자존심 강한 사람은 반드시 존재한다고 할 수 있다. 따라서 제시된 결론은 논리적으로 타당한 논증(= 전제1과 전제2가 참이라면 결론은 반드시 참인 논증)이라 할 수 있다. ① 전제2와 결론을 비교하고 나서, 전제1이 이러한 논증을 지지하는 지 판단한다. 전제1. 공직을 지망하는 대부분의 사람들은 안정된 직장을 원한다. 전제2. 모험을 좋아하는 사람들은 대부분 안정된 직장을 원하지 않는다. 결론. 모험을 좋아하는 사람들은 대부분 공직을 지망하지 않는다. ⇒ 전제2와 결론을 비교해 보자. 전제2의 ‘안정된 직장을 원하지 않는다’가 참인 경우 ‘공직을 지망하지 않는다’가 반드시 참이라면 이 논증은 논리적으로 타당한 논증이 된다. 그러나 전제1의 내용을 통해 “안정된 직장을 원하지 않는다면 공직을 지망하지 않는다”라는 추론은 타당하지 않다.‘대부분’이라는 양적인 한정이 이러한 추론을 불가능하게 한다. 즉, 안정된 직장을 원하지 않는 사람 중에는 공직을 지망하는 사람이 있을 수 있다는 것이다. 따라서 위 논증은 논리적으로 타당한 논증으로 보기 어렵다. (X) 만약 전제1이 ‘공직을 지망하는 사람들은 모두 안정된 직장을 원한다’ 라면, ‘안정된 직장을 원하지 않는 사람은 공직을 지망하지 않는다’란 추론(=대우명제)이 가능하여 위 논증은 타당한 논증이 된다. ② 해결의 단서 : 전제1의 “~만 … 하다.” ⇒“… 하면 모두 ~ 하다.”로 바꿔서 이해한다. 전제1. 정직하고 봉사정신이 강한 사람들만이 공직을 맡을 수 있다. ⇒ 공직을 맡을 수 있는 사람들은 모두 정직하고 봉사정신이 강한 사람들이다. (공직을 맡을 수 있으려면 모두 정직하고 봉사정신이 강한 사람들이어야 한다.) 전제2. 정직하지만 공직자가 아닌 사람들은 많이 있다. 결론. 정직하지만 봉사정신은 강하지 않은 사람들이 많이 있다. ⇒ 판단 : 전제1에서는 공직을 맡을 수 있는 사람들은 모두 정직하고 봉사정신이 강한 사람들이라는 자격요건(제약조건)을 말하고 있고 전제2에서는‘정직하지만 공직자가 아닌 사람들이 많이 있다’라고 말하고 있을 뿐이다. 즉, 정직하지만 공직자인 사람들에 대해서나 정직하지만 봉사정신이 강한 사람 등에 대해서 어떠한 언급도 없다. 따라서 전제1과 전제2를 통해 정직한 사람과 봉사정신이 강한 사람간의 관계에 대해 추론할 수 있는 것은 아무것도 없다. 논리적으로 타당한 논증이라 할 수 없다. (X) 10명의 사람이 존재한다고 가정하고, 반례의 경우를 벤다이어그램으로 표현해 보면 다음과 같다. (단, 편의상 x가 5개 이상을 ‘많다’로 본다.) <전제1> 정직하고 봉사정신이 강한 사람들만이 공직을 맡을 수 있다. ⇒ 공직자 개념 중에서 정직과 봉사가 겹치는 부분을 제외하고는 존재해서는 안 되도록 빗금으로 제거시켰다. <전제2> 정직하지만 공직자가 아닌 사람들은 많이 있다. ⇒ 그림에서는 9명으로 표현했다. (결론> 정직하지만 봉사정신은 강하지 않은 사람들이 많이 있다. ⇒ 3명만이 존재한다. ∴ 전제1과 전제2를 참이지만 결론이 거짓일 수 있다. (논리적으로 타당한 추론이 아니다.) ③ 전제1. 공직자가 많은 돈을 벌 가능성은 매우 낮다.⁴⁾ → 공직자가 많은 돈을 벌 가능성은 매우 낮지만 벌 수 있다. 전제2. 철수는 많은 돈을 벌었다. 결론. 철수가 공직자일 가능성은 매우 낮다. ⇒ 전제1을 통해 공직자가 많은 돈을 벌 가능성은 매우 낮지만 많은 돈을 벌 수 없다는 것은 아니다. 즉 공직자는 많은 돈을 벌 수 있다. 전제2에 의해 철수는 많은 돈을 벌었다. 그런데 많은 돈을 번 사람이 세상에는 매우매우 적어서 많은 돈을 번 사람의 대부분이 공직자일 수도 있다. 이런 경우 철수는 공직자일 가능성이 매우 높다 라는 추론도 가능하다. 따라서 결론이 항상 참인 타당한 논증이라고 보기는 어렵다. 핵심은 돈을 많이 번사람 중에 공직자가 차지하는 비중이 매우 클 수도 있고 매우 작을 수도 있다는 것이다. (∵전제1에서 공직자중에서 많은 돈을 벌 가능성이 매우 낮다고 했지 돈을 많이 번 사람 중에 공무원의 비중이 매우 낮다고 하지는 않았기 때문이다.) (X) ⑤ 전제1. 영희와 철수가 모두 시험에 응시한다면 두 사람은 서로 경쟁을 해야 한다. ⇒ 조건명제이다.‘~한다면, … 해야 한다.’따라서 대우명제는“두 사람이 서로 경쟁을 하지 않으려면 영희 또는 철수가 시험에 응시하지 않으면 된다.”이다. 전제2. 영희와 철수는 서로간의 경쟁을 원하지 않는다. 결론. 영희와 철수는 모두 시험에 응시하지 않을 것이다. ⇒ 논리적 판단 : 전제1과 전제2에 따라 결론과 같이‘영희와 철수는 모두 시험에 응시하지 않을 것’이라는 결론만이 도출되는 것은 아니다. 영희와 철수 중 어느 누구라도 시험에 응시하지 않으면 된다는 결론에 도달할 수도 있다. 따라서 참일 수도 있고 거짓일 수도 있는 결론이라 할 수 있다. 타당한 논증이라 할 수 없다.⁵⁾ (X) 따라서 논리적으로 타당한 논증은 ④번이다. 정답 : ④